Chủ đề này có 2 trả lời

[wallunint]

Bài 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mản $a+b+c=3$. Chứng minh:

\[\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\ge \frac{9}{10}\]

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:

\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]




Ps: bài 1 có cách giải khá đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 14-06-2012 - 11:56

[duongvanhehe]

$\frac{1}{2+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2+\frac{ab}{c}}\geq \frac{9}{10}$
$\frac{bc}{a}=x^{2};\frac{ca}{b}=y^{2};\frac{ab}{c}=z^{2}$;$xy+yz+zx=3$
$\frac{1}{2+x^{2}}+\frac{1}{2+z^{2}}\geq \frac{1}{2+(x+z)^{2}}+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 4zx+zx(z+x)^{2}\leq 8; y=max\left \{ x,y,z \right \}$;$ 3=(z+x)y+zx\geq \frac{(z+x)^{2}}{2}+zx \Rightarrow (z+x)^{2}+4zx\leq \frac{8}{3}\left [ \frac{(z+x)^{2}}{2}+zx \right ]\leq 8 ;do y(z+x)\leq 3\Rightarrow y\leq \frac{3}{z+x} \Rightarrow P= \frac{1}{2+x^{2}}+\frac{1}{2+y^{2}}+\frac{1}{2+z^{2}}\geq \frac{1}{2+(z+x)^{2}}+\frac{1}{2+\frac{9}{(z+x)^{2}}}+\frac{1}{2};dat (z+x)^{2}=t\Rightarrow P\geq \frac{1}{2+t}+\frac{t}{9+2t}+\frac{1}{2}\geq \frac{9}{10}\Leftrightarrow \frac{(t-3)^{2}}{(2+t)(9+2t)}\geq 0$

[wallunint]

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:

\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]

Tự sướng bài này

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$[\sum\sqrt\frac{2a(b+d)(a+c)(a+d)}{(a+b)(a+d)}]^{2}\le 4(a+b+c+d)^{2}$$
Áp dụng CS, ta có:
$$ [\sum\sqrt\frac{2a(b+d)(a+c)(a+d)}{(a+b)(a+d)}]^{2}\le\sum [\frac{2a(b+d)}{(a+b)(a+d)}][\sum(a+c)(a+d)]$$
$$=\sum\frac{2a(b+d)}{(a+b)(a+d)}{(a+b+c+d)^{2}}$$
Vậy, ta cần chứng minh:
$$\sum\frac{(2a)(b+d)}{(a+b)(a+d)}\le 4\Leftrightarrow 0\le (ac-bd)^{2}$$
$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 14-07-2012 - 23:22