Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Cho dãy số thực $\{a_n\}$ xác định như sau:$a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$.Tìm $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 14-06-2012 - 13:21
$\LaTeX$ và tiêu đề!

[navibol]

Cho dãy số thực $\{a_n\}$ xác định như sau:$a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$.Tìm $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{a_n}{\sqrt{n}}$

Thông thường thì nó được giải theo cách này. :-P
$$a_{k + 1}^2 = a_k^2 + \frac{1}{{a_k^2 }} + 2 \Rightarrow \sum\limits_{i = 2}^n {a_i^2 } = \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {a_j^2 } + \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{a_j^2 }} + 2(n - 1).} $$
$$a_n^2 = 2n - 1 + \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{a_j^2 }}} \Rightarrow a_n > \sqrt {2n - 1} {\rm{ , }}\forall {\rm{n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}$$
$$a_k^2 > 2k - 1{\rm{ }}\forall {\rm{k}} \ge {\rm{2}} \Rightarrow \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}}_{\rm{k}}^{\rm{4}} }} < \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{(2k - 1)}}^{\rm{2}} }} < \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{(2k - 1)}}^{\rm{2}} - 1}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{4k(k + 1)}}}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}} \right)$$
$$\Rightarrow \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {\frac{1}{{a_k^4 }} < \frac{1}{4}} (1 - \frac{1}{{n - 1}}) < \frac{1}{4} \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{a_j^4 }} < 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}} $$
$$\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{u_j^{2}}\leq \sqrt{(n-1).
\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{u_j^{4}}}<\frac{\sqrt{5(n-1)}}{2} (n\geq 2)$$
$$a_n^2 < 2n - 1 + \frac{{\sqrt {5(n - 1)} }}{2}{\rm{ (n}} \ge {\rm{2)}}$$
$$n \ge 2;{\rm{ }}\sqrt {{\rm{2n - 1}}} {\rm{ < a}}_{\rm{n}} {\rm{ < }}\sqrt {{\rm{2n - 1 + }}\frac{{\sqrt {{\rm{5(n - 1)}}} }}{{\rm{2}}}} \Rightarrow \sqrt {{\rm{2 - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}} {\rm{ < }}\frac{{{\rm{a}}_{\rm{n}} }}{{\sqrt {\rm{n}} }} < \sqrt {{\rm{2n - 1 + }}\frac{{\sqrt {{\rm{5(n - 1)}}} }}{{\rm{2}}}} $$
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_n }}{{\sqrt {2n} }} = 1$$.
Bạn có thể tham khảo ở đây. :-P
http://forum.mathsco...4942#post154942

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi navibol: 15-06-2012 - 20:36

[namcpnh]

${a_n}^{2}< 2n-1+\frac{\sqrt{5(n-1)}}{2} (n\geq 2)$ sao có vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WWW: 15-06-2012 - 10:41

[Crystal]

$ ^{2}< 2n-1+\frac{\sqrt{5(n-1)}}{2} (n\geq 2)$ sao có vậy?

Lỗi này là do ${a_n}$.

${a_n}^{2}< 2n-1+\frac{\sqrt{5(n-1)}}{2} (n\geq 2)$

[namcpnh]

Thanks anh nhiều nghe.Mà hình như đoạn cuối anh nhầm rùi kìa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 16-06-2012 - 12:40

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \Rightarrow a_{n+1} -a_n=\frac{1}{a_n} > 0 \Rightarrow a_n$ tang .
Gia su ton tai $\lim a_n = L \Leftrightarrow L=L+\frac{1}{L}$ (vo ly )
Vay $\lim a_n = +\infty$
Theo dinh ly cesaro
$\lim \frac{a_n^2}{n}=\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)= \lim (\frac{1}{a_n^2}+2) =2$
$\Rightarrow \lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 17-06-2012 - 12:58