Chủ đề này có 18 trả lời

[ckuoj1]

Câu 1: a) Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+6x =6y& \\ y^{2}+9=2xy& \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1} = x^{2}-1$
Câu 2: a) Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn x+y+z =1
$\frac{a}{x^{3}}=\frac{b}{y^{3}}=\frac{c}{z^{3}}$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{y^{2}}+\frac{c}{z^{2}}} = \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên m để phương trình $x^{2} + m(1-m)x - 3m-1=0$ có nghiệm nguyên
Câu 3 : Tam giác ABC có góc B,C nhọn, góc A nhỏ hơn $45^{\circ}$, nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm. M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M không trùng B, C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp đường tròn và 3 điểm N,H,P thẳng hàng
b) Tìm vị trí của M để S_ANP max
Câu 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 8
Chứng minh $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$
Câu 5: Cho 2012 số thực a₁, a₂ , ....., a₂₀₁₂ có tính chất tổng của 1008 bất kì lớn hơn tổng của 1004 số còn lại. Chứng minh rằng trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương
------------------------
p/s: nhờ ai đó post dùm e cái hình câu 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-06-2012 - 14:54

[L Lawliet]

Câu 1: a) Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+6x =6y& \\ y^{2}+9=2xy& \end{matrix}\right.$

Cộng 2 phương trình của hệ vế theo vế ta được:
$$x^2+y^2+9+6x-6y-2xy=0$$
$$\Leftrightarrow (x-y+3)^2=0$$
$$\Leftrightarrow x-y+3=0$$
$$\Leftrightarrow y=x+3$$
Thay $y=x+3$ vào phương trình $(1)$ ta được:
$$x^2+6x=6(x+3)$$
$$\Leftrightarrow x^2=18$$
$$\Leftrightarrow x=\pm 3\sqrt{2}$$
Với $x=3\sqrt{2}$ thì $y=3\sqrt{2}+3$
Với $x=-3\sqrt{2}$ thì $y=3-3\sqrt{2}$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)$ là $(3\sqrt{2};3+3\sqrt{2})$, $(-3\sqrt{2};3-3\sqrt{2})$

[Poseidont]

Câu 1b ( dùng liên hợp)
PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+6}-2+\sqrt{x-1}-1=(x-2)(x+2)$
$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x+6)^2}+2\sqrt[3]{(x+6)}+4}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=(x-2)(x+2)$
$\Rightarrow x=2$ ( Vế kia chúng minh vô nghiệm dùng phưong pháp đánh giá)
Bài 2b/ Xét $\bigtriangleup$

[L Lawliet]

Câu 1b ( dùng liên hợp)
PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+6}-2+\sqrt{x-1}-1=(x-2)(x+2)$
$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x+6)^2}+2\sqrt[3]{(x+6)}+4}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=(x-2)(x+2)$
$\Rightarrow x=2$ ( Vế kia chúng minh vô nghiệm dùng phưong pháp đánh giá)
Bài 2b/ Xét $\bigtriangleup$

Bạn trình bày rõ cách đánh giá vế kia được không? Mình chưa làm ra, xét Delta nữa!

[ducthinh26032011]

Câu 2: a) Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn x+y+z =1
$\frac{a}{x^{3}}=\frac{b}{y^{3}}=\frac{c}{z^{3}}$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{y^{2}}+\frac{c}{z^{2}}} = \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

2a)
$VT=A=\sqrt[3]{\frac{ax}{x^{3}}+\frac{by}{y^{3}}+\frac{cz}{z^{3}}}=\sqrt[3]{\frac{a}{x^{3}}(x+y+z)}=\frac{\sqrt[3]{a}}{x}\Rightarrow Ax=\sqrt[3]{a}$
Làm tương tự:$Ay=\sqrt[3]{b}$
$Az=\sqrt[3]{c}$
Cộng 3 vế: $A(x+y+z)=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
$\Leftrightarrow A=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
$\Rightarrow$ điều phải c/m đúng

[lollipop97]

2a) Đặt $\frac{a}{x^{3}} = \frac{b}{y^{3}} = \frac{c}{z^{3}} = k^{3}$
Khi đó $a = k^{3}x^{3}$ ; $b = k^{3}y^{3}$ : $c = k^{3}z^{3}$
VT = $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}} + \frac{b}{y^{2}} + \frac{c}{z^{2}}}$ = $\sqrt[3]{\frac{k^{3}x^{3}}{x^{2}}+ \frac{k^{3}y^{3}}{y^{2}}+ \frac{k^{3}z^{3}}{z^{2}}}$
= $\sqrt[3]{k^{3}x + k^{3}y + k^{3}z}$ = $\sqrt[3]{k^{3}(x + y + z)}$ = $\sqrt[3]{k^{3}}$ (do x + y + z =1)
= k
VP = $^{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} = \sqrt[3]{k^{3}x^{3}} + \sqrt[3]{k^{3}y^{3}} + \sqrt[3]{k^{3}z^{3}}$
= kx + ky + kz = k(x +y +z) = k (do x +y +z =1)
Từ đó => VP =VT (cùng = k) => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lollipop97: 17-06-2012 - 22:17

[ninhxa]

Bạn trình bày rõ cách đánh giá vế kia được không? Mình chưa làm ra, xét Delta nữa!

ĐK: x>=1
Vế còn lại là
$\frac{1}{\sqrt[3]{(x+6)^3}+2\sqrt[3]{(x+6)}+4}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=x+2$
Xét $x\geq 1$ ta có
$VT\leq \frac{1}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+4}+1< 3\leq VP$
Do đó vế kia vô nghiệm

P/s Ai làm bài bất đẳng thức đi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 16-06-2012 - 22:27

[minh29995]

Câu 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 8$\Leftrightarrow x+1-\frac{x+1}{y+1}+y+1-\frac{1+y}{1+z}+z+1-\frac{1+z}{1+x}\geq 3$
Chứng minh $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$

Nhìn cho dễ đặt a=2x, b=2y, c=2z ta đưa bài toán trở thành: xyz=1..
Ta cần chứng minh:
$x+y+z\geq \frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+x}$
$\Leftrightarrow x+1-\frac{z+1}{x+1}+y+1-\frac{1+x}{1+y}+z+1-\frac{1+y}{1+z}\geq 3$
$\Leftrightarrow (x+1)\frac{y}{y+1}+(y+1)\frac{z}{z+1}+(z+1)\frac{x}{x+1}\geq 3$
Nhưng BĐT này đúng vì theo AM-GM:
$VT\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$
ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=2

[ckuoj1]

Câu 1: a) Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+6x =6y& \\ y^{2}+9=2xy& \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình $\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1} = x^{2}-1$
Câu 2: a) Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn x+y+z =1
$\frac{a}{x^{3}}=\frac{b}{y^{3}}=\frac{c}{z^{3}}$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{y^{2}}+\frac{c}{z^{2}}} = \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên m để phương trình $x^{2} + m(1-m)x - 3m-1=0$ có nghiệm nguyên
Câu 3 : Tam giác ABC có góc B,C nhọn, góc A nhỏ hơn $45^{\circ}$, nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm. M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M không trùng B, C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp đường tròn và 3 điểm N,H,P thẳng hàng
b) Tìm vị trí của M để S_ANP max
Câu 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 8
Chứng minh $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$
Câu 5: Cho 2012 số thực a₁, a₂ , ....., a₂₀₁₂ có tính chất tổng của 1008 bất kì lớn hơn tổng của 1004 số còn lại. Chứng minh rằng trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương
------------------------
p/s: nhờ ai đó post dùm e cái hình câu 3

tớ làm câu 2b) như thế này đây Quân nè:
Để pt có ngiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương
Xét $\Delta$ = $m^{2}(1-m)^{2}+4(3m+1) = m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$
Đặt $m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$ = k$^{2}$
$\Rightarrow (m^{2}+m-2)(m^{2}-3m+6)=(k-4)(k+4)$
Sau đó tớ xét 8 trường hợp---- m = 0,1,4,-2
----------------------------------------
(hơi dài đúng ko)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ckuoj1: 17-06-2012 - 08:56

[ducthinh26032011]

tớ làm câu 2b) như thế này đây Quân nè:
Để pt có ngiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương
Xét $\Delta$ = $m^{2}(1-m)^{2}+4(3m-1) = m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$
Đặt $m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$ = k$^{2}$
$\Rightarrow (m^{2}+m-2)(m^{2}-3m+6)=(k-4)(k+4)$
Sau đó tớ xét 8 trường hợp---- m = 0,1,4,-2
----------------------------------------
(hơi dài đúng ko)

Bạn ơi,lỡ $k-4$ hoặc $k+4$ phân tích được nhân tử nữa thì sao,VT cũng vậy
Sai chỗ đó nữa kìa,$4(3m+1)$ chứ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 17-06-2012 - 08:50

[lollipop97]

Câu 5: Mình làm thế này không biết đúng không nữa !!
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
Giả sử có 2008 số thực dương => có ít nhất 4 số thực âm
=> $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
Theo đề bài $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} +... + a_{2012}$
Mà $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
=> $a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008} \geq a_{1} + a_{2} +...+ a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} + ... + a_{2012}$
Mặt khác a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
=> $a_{1009} + a_{1010} + ... a_{2012} \geq a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008}.$
Từ đó => mâu thuẫn
Vậy phải có ít nhất 2009 số thực dương

[ckuoj1]

Bạn ơi,lỡ $k-4$ hoặc $k+4$ phân tích được nhân tử nữa thì sao,VT cũng vậy
Sai chỗ đó nữa kìa,$4(3m+1)$ chứ.

ý bạn là sao???? bạn có thể nói rõ hơn cho mình không???

[Katyusha]

Mọi người giải quyết giúp mình câu b bài hình được không

[Lnmn179]

Mọi người giải quyết giúp mình câu b bài hình được không

Mình nghĩ là làm như vậy nè:
Ta dễ dàng chỉ ra AM = AN = AP.
=> $\Delta ANP$ cân tại A.
$S_{ANP}=\frac{1}{2}AN \cdot AP \cdot sin\angle NAP$
( sử dụng đc công thức này vì $\angle NAP< 90^{\circ}$ )
Ta có $\angle NAP = 2\angle BAC$ không đổi => $sin \angle NAP$ không đổi.
=> $S_{ANP}$ max <=> AN max.
mà AN=AM nên AN max <=> AM max <=> AM là đường kính của đường tròn (O).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lnmn179: 19-06-2012 - 17:51

[yeutoan11]

ý bạn là sao???? bạn có thể nói rõ hơn cho mình không???

Ý bạn ấy là có thể phân tích nhân tử kiểu khác vd
$6=2.3=1.6$

[MitHam]

tớ làm câu 2b) như thế này đây Quân nè:
Để pt có ngiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương
Xét $\Delta$ = $m^{2}(1-m)^{2}+4(3m+1) = m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$
Đặt $m^{4}-2m^{3}+m^{2}+12m+4$ = k$^{2}$
$\Rightarrow (m^{2}+m-2)(m^{2}-3m+6)=(k-4)(k+4)$
Sau đó tớ xét 8 trường hợp---- m = 0,1,4,-2
----------------------------------------
(hơi dài đúng ko)

m ơi, đoạn $k + 4$ với $k + 4 k - 4$ chưa hết mà....... ko khả quan lắm!!! (

[boyngaythoyeutoanhoc]

Câu hình b : tam giác ANP có AN=AP=AM ( k đổi) và góc NAP= 2 lần góc BAC ( k đổi)
suy ra các tam giác ANP đồng dạng với nhau
suy ra có S lớn nhất khi AN=AP=AM lớn nhất khi AM là đường kính
mjnk k bjk gõ thông cảm

[Crystal]

Câu 2: a) Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn x+y+z =1
$\frac{a}{x^{3}}=\frac{b}{y^{3}}=\frac{c}{z^{3}}$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{y^{2}}+\frac{c}{z^{2}}} = \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

Câu này có trong quyển Nâng cao và phát triển Toán 9 của Vũ Hữu Bình thì phải. Nhớ hồi học lớp 9 có xem. Giờ quên cách giải ở sách đó rồi.

[Forgive Yourself]

Câu 5: Mình làm thế này không biết đúng không nữa !!
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
Giả sử có 2008 số thực dương => có ít nhất 4 số thực âm
=> $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
Theo đề bài $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} +... + a_{2012}$
Mà $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ $\leq$ 0
=> $a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008} \geq a_{1} + a_{2} +...+ a_{1008} > a_{1009} + a_{1010} + ... + a_{2012}$
Mặt khác a$a_{2012} \geq a_{2011} \geq a_{2010} \geq ...\geq a_{2} \geq a_{1}$
=> $a_{1009} + a_{1010} + ... a_{2012} \geq a_{5} + a_{6} + ... + a_{1008}.$
Từ đó => mâu thuẫn
Vậy phải có ít nhất 2009 số thực dương

 

Bạn ơi, vì sao có thể suy ra có 4 số thực âm vậy?