Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Câu 1(3 đ)
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$
Tính giá trị biểu thức P = $\frac{a^{22}}{b^{22}} + \frac{b^{6}}{c^{6}} + \frac{c^{2011}}{a^{2011}}$
2) Cho $x = \frac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}$ , $y = \frac{6}{4+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}$
Chứng minh rằng $x + y$ là một số tự nhiên.
Câu 2(2 đ) 1) Giải PT: $\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=\sqrt{11x-x^{2}-24}+1$
2) Giải hệ PT: $\left\{\begin{matrix} \frac{4}{2x+y}+\frac{1}{3x-y}=2\\ 4x+12y=7(2x+y)(3x-y) \end{matrix}\right.$
Câu 3(1 đ) Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $A = ( n - 2010)(n - 2011)(n - 2012)$ là một số chính phương.
Câu 4(3 đ) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là điểm thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của $(O)$, ($D$ không trùng với $A, B$).
1) Trong trường hợp $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn, CMR $AC + BD = AD + BC$.
2) Trong trường hợp $ABC$ là tam giác đều, CMR $DA + DB = DC$.
3) Trong trường hợp tam giác $ABC$ có $AB$ là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh $AC$ và $BC$ lấy các điểm $M, N$ tương ứng sao cho $AM = BD$ và $BN = AD$. CMR khi $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của $(O)$ thì trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5(1 đ) Cho $a, b, c$ là các số thực dương, CMR:
$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-06-2013 - 22:23


#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 2(2 đ)
1) Giải PT: $\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=\sqrt{11x-x^{2}-24}+1$


$\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=\sqrt{11x-x^{2}-24}+1$

ĐKXĐ: $3\leq x\leq 8$

$\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=\sqrt{11x-x^{2}-24}+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=\sqrt{(x-3)(8-x)}+1$

$\Leftrightarrow 5+2\sqrt{(x-3)(8-x)}=(x-3)(8-x)+2\sqrt{(x-3)(8-x)}+1$

$\Leftrightarrow 4=(x-3)(8-x)$

$\Leftrightarrow -x^{2}+11x-28=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=7\\ x=4 \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 17-06-2012 - 12:24

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
Câu 2
1) Đặt ẩn phụ: a + b = ab + 1 => (a - 1)(b - 1) = 0 => a = 1 hoặc b = 1 => x = 4 hoặc x = 7

2) $(x;y)= (1;\frac{1}{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-06-2012 - 12:45


#4
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Câu 5(1 đ)

Cho a, b, c là các số thực dương, CMR:
$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

SOLUTION:

-Để cho thuận mắt, đặt $x=a;y=2b;z=3c\Rightarrow x,y,z>0$ thì BĐT cần chứng minh trở thành:
$$\frac{xy}{3x+4y+2z}+\frac{yz}{3y+4z+2x}+\frac{zx}{3z+4x+2y}\le \frac{x+y+z}{9}(*)$$
-Áp dụng BĐT $\frac{9}{m+n+p}\le \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}$ với $m,n,p>0$ và $mn+np+pm\le \frac{(m+n+p)^2}{3}$ với $\forall m,n,p$, ta có:
$$\frac{9xy}{3x+4y+2z}=\frac{9xy}{(x+y+z)+(x+y+z)+(x+2y)}\le \frac{2xy}{x+y+z}+\frac{xy}{x+y+y}\le \frac{2xy}{x+y+z}+\frac{1}{9}(x+2y)$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có:
$$9VT(*)\le \frac{2(xy+yz+zx)}{x+y+z}+\frac{1}{9}(3x+3y+3z)\le \frac{2.\frac{(x+y+z)^2}{3}}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{3}=x+y+z \\ \Rightarrow VT(*)\le \frac{x+y+z}{9}=VP(*)$$
Dấu bằng xảy ra khi :$x=y=z\Leftrightarrow a=2b=3c\ <Q.E.D>$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#5
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

2) Giải hệ PT: $\left\{\begin{matrix} \frac{4}{2x+y}+\frac{1}{3x-y}=2\\ 4x+12y=7(2x+y)(3x-y) \end{matrix}\right.$


Một cách giải.

ĐK:.........

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{14x-3y}{(2x+y)(3x-y)}=2 & & \\ \frac{4x+12y}{(2x+y)(3x-y)}=7 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{3x-y}=1\Rightarrow y=3x-1$

Thế vào phương trình ban đầu là xong !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 17-06-2012 - 13:53

ĐCG !

#6
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Câu 1(3 đ)

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$
Tính giá trị biểu thức P = $\frac{a^{22}}{b^{22}} + \frac{b^{6}}{c^{6}} + \frac{c^{2011}}{a^{2011}}$
2) Cho $x = \frac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}$ , $y = \frac{6}{4+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}$
Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.

Câu này chống liệt, đào mộ phát :P
SOLUTION:

1) Theo giả thiết:
$$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)=0\\ \Leftrightarrow a=b=c$$
Suy ra $P=3$

2) Sử dụng phép nhân liên hợp thu được:
$$x=\sqrt[3]{2}+1;y=2-\sqrt[3]{2}\\ \Rightarrow x+y=3\in \mathbb{N^*}\ <Q.E.D>$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 17-06-2012 - 13:02

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#7
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Một cách giải.

ĐK:.........

$\frac{1}{3x-y}=1\Rightarrow y=3x$

Thế vào phương trình ban đầu là xong !


Bạn ơi từ bước này suy ra y+1=3x
Nhưng nếu đem chia 2 vế thì ta có y=2x
Bạn xem lại nha :lol: :lol:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 17-06-2012 - 14:49

Hình đã gửi


#8
luvstone

luvstone

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
\textbf{Câu 3}\\
Đặt $a=n-2011$. Khi đó:\\
$A=(a-1)a(a+1)$\\
hay $A=a(a^2-1)$\\
Th1: $a(a^2-1)=0$ hay $n=2011; n= 2012; n=2010$ thì đều thỏa mãn A chính phương.\\
Th2:  $a(a^2-1)\neq 0$ khi đó $(a, a^2-1)=1$ nên $A=a(a^2-1)$ không thể là số chính phương.\\





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh