giải pt:$4\sqrt[4]{27(x+1)}=x^{3}+x^{2}-15x+30$
giải pt:$4\sqrt[4]{27(x+1)}=x^{3}+x^{2}-15x+30$
Bắt đầu bởi donghaidhtt, 18-06-2012 - 20:19
#1
Đã gửi 18-06-2012 - 20:19
#2
Đã gửi 18-06-2012 - 21:41
giải pt:$4\sqrt[4]{27(x+1)}=x^{3}+x^{2}-15x+30$
Hướng dẫn:
Điều kiện: $x \ge -1$
Áp dụng Cauchy, ta có:
\[VT = 4\sqrt[4]{{3.3.3\left( {x + 1} \right)}} \le 3 + 3 + 3 + x + 1 = x + 10\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$.
Ta cũng có: \[VP = {x^3} + {x^2} - 15x + 30 \ge x + 10\]
Chứng minh theo biến đổi tương đương. Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy phương trình có nghiệm là $x=2$
- donghaidhtt yêu thích
#3
Đã gửi 18-06-2012 - 21:44
giải pt:$4\sqrt[4]{27(x+1)}=x^{3}+x^{2}-15x+30$
ĐKXĐ : $x\geq -1$
Áp dụng bất đẳng thức A-G cho 4 số không âm,ta có :
$4\sqrt[4]{27(x+1)} \leq x+1+3+3+3= x+10$
$\Rightarrow x^{3}+x^{2}-15x+30\leq x+10$
$\Leftrightarrow (x+5)(x-2)^{2}\leq 0$
Vì $x\geq -1$ nên $x+5> 0$, do đó $x=2$ ( thử lại thỏa mãn )
Vậy PT có nghiệm $x=2$
- donghaidhtt yêu thích
#4
Đã gửi 21-06-2012 - 17:39
làm thế nào để tách 27=3.3.3.1 mà không là các số khac? từ đó có thể nói hướng tách đc không a.?ĐKXĐ : $x\geq -1$
Áp dụng bất đẳng thức A-G cho 4 số không âm,ta có :
$4\sqrt[4]{27(x+1)} \leq x+1+3+3+3= x+10$
$\Rightarrow x^{3}+x^{2}-15x+30\leq x+10$
$\Leftrightarrow (x+5)(x-2)^{2}\leq 0$
Vì $x\geq -1$ nên $x+5> 0$, do đó $x=2$ ( thử lại thỏa mãn )
Vậy PT có nghiệm $x=2$
Hay chỉ là do kinh nghiệm???
- donghaidhtt yêu thích
#5
Đã gửi 21-06-2012 - 18:52
làm thế nào để tách 27=3.3.3.1 mà không là các số khac? từ đó có thể nói hướng tách đc không a.?
Hay chỉ là do kinh nghiệm???
Hướng ban đầu là dùng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 4 số không âm.
Nhận thấy $4\sqrt[4]{{27\left( {x + 1} \right)}}$ tích trong căn đã có hai thừa số là $27$ và $x+1$, ta chỉ cần tách $27$ ra thành 3 thừa số là OK (thường nghĩ đến số nguyên)
Ta có: $27 = 1.9.3 = 3.3.3$ (chỉ phân tích thành tích của các số nguyên).
Nếu ta chọn $1.9.3$, khi đó điều kiện để xảy ra dấu "=" là $\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 1\\
x + 1 = 9\\
x + 1 = 3
\end{array} \right.$, vô lí.
Nếu chọn $3.3.3$ thì dấu "=" xảy ra là điều hiển nhiên. Cuối cùng có được kết quả.
- werfdsa yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh