Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
CaptainAmerica

CaptainAmerica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
(ký hiệu x! là tích các số tự nhiên từ 1 đến x....)

Y so serious?


#2
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
(ký hiệu x! là tích các số tự nhiên từ 1 đến x....)

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:

Xét $x=y$
$\begin{array}{l}
\to 2x! = \left( {2x} \right)! = x!.\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...(2x) \\
\to \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...(2x) = 2 \to x = y = 1 \\
\end{array}$.

Xét $x \ne y $. Không mất tính tổng quát có thể giả sử $x < y$. Đặt $y=x+k, k\in Z, k>0$, phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}
x! + \left( {x + k} \right)! = \left( {2x + k} \right)! \\
\Leftrightarrow x! + x!.\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right) = x!\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {2x + k} \right) \\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right) + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {2x + k} \right) \\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right)\left[ {\left( {x + k + 1} \right)\left( {x + k + 2} \right)...\left( {x + k + x} \right)} \right] = 1 \\
\end{array}$.

Dễ thấy phương trình trên vô nghiệm nguyên dương.

Do vậy, ta có nghiệm của phương trình là $(x;y)=(1;1)$.

$\boxed{\textit{The problem is completely solved...}}$ :icon12:

___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 19-06-2012 - 22:51

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#3
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:
Tổng quát cho bài toán này như sau: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
${x_1}! + {x_2}! + ... + {x_n}! = \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)!$ :icon12:
___

P/S: Và mình nghĩ, chứng minh cũng hoàn toàn tương tự bài toán gốc, các bạn thử làm nhé, thân ! :)
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh