Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
(ký hiệu x! là tích các số tự nhiên từ 1 đến x....)
Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
Bắt đầu bởi CaptainAmerica, 19-06-2012 - 20:39
#2
Đã gửi 19-06-2012 - 22:49
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
(ký hiệu x! là tích các số tự nhiên từ 1 đến x....)
Xét $x=y$
$\begin{array}{l}
\to 2x! = \left( {2x} \right)! = x!.\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...(2x) \\
\to \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...(2x) = 2 \to x = y = 1 \\
\end{array}$.
Xét $x \ne y $. Không mất tính tổng quát có thể giả sử $x < y$. Đặt $y=x+k, k\in Z, k>0$, phương trình tương đương:
$\begin{array}{l}
x! + \left( {x + k} \right)! = \left( {2x + k} \right)! \\
\Leftrightarrow x! + x!.\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right) = x!\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {2x + k} \right) \\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right) + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {2x + k} \right) \\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + k} \right)\left[ {\left( {x + k + 1} \right)\left( {x + k + 2} \right)...\left( {x + k + x} \right)} \right] = 1 \\
\end{array}$.
Dễ thấy phương trình trên vô nghiệm nguyên dương.
Do vậy, ta có nghiệm của phương trình là $(x;y)=(1;1)$.
$\boxed{\textit{The problem is completely solved...}}$
___
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 19-06-2012 - 22:51
- BlackSelena, ahead325 và CaptainAmerica thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#3
Đã gửi 19-06-2012 - 22:54
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:
Tổng quát cho bài toán này như sau: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
${x_1}! + {x_2}! + ... + {x_n}! = \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)!$
___
P/S: Và mình nghĩ, chứng minh cũng hoàn toàn tương tự bài toán gốc, các bạn thử làm nhé, thân !
___
Tổng quát cho bài toán này như sau: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
${x_1}! + {x_2}! + ... + {x_n}! = \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right)!$
___
P/S: Và mình nghĩ, chứng minh cũng hoàn toàn tương tự bài toán gốc, các bạn thử làm nhé, thân !
___
- ahead325 và CaptainAmerica thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh