Chủ đề này có 9 trả lời

[vietfrog]

Tìm $m$ để PT :\[{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\]
có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : $ - 1 < {x_1} < 2 < {x_2}$


------------------------------------------------------------------------------------------
P/s: Rất mong các thầy các bạn nêu 1 cách trình bày chuẩn cho bài này.
Em thấy có rất nhiều cách, nhưng không biết cách nào được dùng cho thi ĐH.

[T M]

Hướng giải của em thế này !!

(1) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

$$-1<x_1<x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta>0 & & \\ S>-2
& & \\ P>-1
\end{matrix}\right.$$

(2) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x_1<2<x_2$

Đặt $x-2=a$ bài toán trở thành tìm $m$ để phương trình $(a+2)^2-(m+1)(a+2)+(m^2+1)=0$ có nghiệm $a_1<0<a_2\Leftrightarrow P_a>0$

Các giá trị của $m$ nào thoả cả $(1)(2)$ là thoả yêu cầu bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 19-06-2012 - 23:55

[vietfrog]

Mình thì hay dùng cách này:
VD : $1 < {x_1} < {x_2}$
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > 1\\
af\left( 1 \right) > 0
\end{array} \right.\]
-----------------
Mong các thầy cho ý kiến!

[hxthanh]

$f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\ne 0$

$f(x)=0$ có 2 nghiệm thì điều kiện bắt buộc phải có là $\Delta >0$

$af(x_0)>0$ (a cùng dấu với $f(x_0)$ ) chỉ đảm bảo rằng $a$ nằm ngoài khoảng nghiệm (nếu có)

$-\dfrac{b}{2a}$ là hoành độ của điểm cực trị

Điều kiện để $x_0<x_1<x_2$ sẽ phải là
$\begin{cases}\Delta>0 \\ af(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} >x_0\end{cases}$


Điều kiện để $x_1<x_2<x_0$ sẽ phải là
$\begin{cases}\Delta>0 \\ af(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} <x_0\end{cases}$


Điều kiện để $x_1<x_0<x_2$ chỉ cần là $af(x_0)<0$

Điều kiện để $u<x_1<v<x_2$ chỉ cần là $\begin{cases}af(v)<0 \\ af(u)>0 \\ -\dfrac{b}{2a}>u\end{cases}$

v.v...

[tieulyly1995]

Xét PT : $f(x)=ax^{2}+bx +c = 0$
So sánh các nghiệm của PT với một số $\alpha$ cho trước :
$\alpha < x_{1}< x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ \alpha -x_{1}< 0 \\ \alpha -x_{2}< 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ (\alpha -x_{1})+(\alpha -x_{2})< 0 \\ (\alpha -x_{1})(\alpha -x_{2})> 0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ 2\alpha -S< 0 \\ a^{2}(\alpha -x_{1})(\alpha -x_{2})> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ \frac{S}{2}-\alpha > 0 \\ a.f(\alpha )> 0 \end{matrix}\right.$
$x_{1}< \alpha < x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ a^{2}(\alpha -x_{1}) (\alpha -x_{2})< 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a. f(\alpha )< 0$
(vì từ $a. f(\alpha )< 0$ suy ra $\Delta > 0$ - định lí đảo về dấu tam thức bậc hai )
Kết hợp hai c/m trên ta có :
$\alpha < x_{1}< \beta < x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a.f(\beta )< 0\\ a.f(\alpha )> 0 \end{matrix}\right.$
Các TH còn lại c/m tương tự

[khanh3570883]

Không biết làm thế này có đúng không!

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + \left( {{m^2} + 1} \right)$ và trục Ox.
Sau đó khảo sát hàm và vẽ bảng biến thiên, rồi từ bảng biến thiên suy ra để phương trình có hai nghiệm thõa mãn điều kiện trên thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 1} \right) > 0 \\
f\left( 2 \right) < 0 \\
f\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right) < 0 \\
\end{array} \right.\]
Cách này có ưu điểm là không cần xét trường hợp và không sợ ...sai nhưng tốn thời gian khảo sát

[vietfrog]

Mình làm có bài chứng minh hai điều này tương đương nhau thì phải?
$\Delta > 0$ và $af({x_0}) > 0$

[khanh3570883]

Mình làm có bài chứng minh hai điều này tương đương nhau thì phải?
$\Delta > 0$ và $af({x_0}) > 0$

Tương đương thế nào được, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai: Nếu x ở trong khoảng hai nghiệm thì hàm ngược dấu với a. Ở đây $\Delta > 0$ thì luôn có 2 nghiệm mà.
Mà phải thế này mới đúng: $\Delta < 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 20-06-2012 - 22:44

[leminhansp]

Mình thì hay dùng cách này:
VD : $1 < {x_1} < {x_2}$
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > 1\\
af\left( 1 \right) > 0
\end{array} \right.\]
-----------------
Mong các thầy cho ý kiến!

Mình nghĩ rằng khi định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai không được đề cập đến thì bạn nên làm như sau:
$1 < {x_1} < {x_2}$ $\leftrightarrow$ $0 < {x_1}-1 < {x_2}-1$
Khi đó đặt $t=x-1$ $\leftrightarrow$ $x=t+1$ thế vào phương trình ban đầu được phương trình bậc 2 theo $t$ gọi là pt $(2)$
Khi đó bào toán ban đầu tương đương với bài toán tìm m để pt $(2)$ có hai nghiệm dương phân biệt
p/s: nhưng các thầy trên trường vẫn sử dụng định lí đảo thì phải

[Apollo Second]

Mình thì hay dùng cách này:
VD : $1 < {x_1} < {x_2}$
Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > 1\\
af\left( 1 \right) > 0
\end{array} \right.\]
-----------------
Mong các thầy cho ý kiến!

bạn ơi cách này trước thi dùng được, mà tới giờ cải cách thì SGK không còn cách này nữa => mình không được dùng nó nữa , thế còn cách nào khác để giải quyết bài này không nhỉ @@!