Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1}...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangnhathuy

hoangnhathuy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 20-06-2012 - 06:58

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$

#2 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 20-06-2012 - 13:19

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$


Theo $AM-GM$ ta có:

\[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + 1} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{a} = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}{a} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{a} + \frac{{a + c}}{a}} \right) = 1 + \frac{{b + c}}{{2a}}\]

Vậy ta cần chứng minh BĐT mạnh hơn:

\[\sum {\frac{1}{{ab}}} \ge 3 + \frac{1}{2}\sum {\frac{{b + c}}{a}} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{ab}} \ge 3 + } \frac{1}{2}\sum {\frac{{a + b}}{c}} \]

\[ \Leftrightarrow 2\sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc\]

BĐT cuối hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ nên BĐT được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{{\sqrt 3 }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 20-06-2012 - 13:20





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh