Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1}...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangnhathuy

hoangnhathuy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 20-06-2012 - 06:58

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$

#2 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 20-06-2012 - 13:19

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$


Theo $AM-GM$ ta có:

\[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + 1} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{a} = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}{a} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{a} + \frac{{a + c}}{a}} \right) = 1 + \frac{{b + c}}{{2a}}\]

Vậy ta cần chứng minh BĐT mạnh hơn:

\[\sum {\frac{1}{{ab}}} \ge 3 + \frac{1}{2}\sum {\frac{{b + c}}{a}} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{ab}} \ge 3 + } \frac{1}{2}\sum {\frac{{a + b}}{c}} \]

\[ \Leftrightarrow 2\sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc\]

BĐT cuối hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ nên BĐT được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{{\sqrt 3 }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 20-06-2012 - 13:20





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh