Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi tuyển sinh trường THPT chuyên Hải Dương 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 Celia

Celia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hành tinh thứ 3 trong hệ Mặt trời =))

Đã gửi 20-06-2012 - 11:49

Thời gian làm bài : 150 phút




Câu I(2 điểm)
1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$
2, cho $x,y$ thỏa mãn $x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$
Tính giá trị $A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$
Câu II(2 điểm)
1, Giải phương trình $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$
2, Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
(x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012 & \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0
&
\end{matrix}\right.$

Câu III(2 điểm)
1,Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $(n^2+n+1)$ không chia hết cho 9
2. Xét phương trình $x^2-m^2x+2m+2=0$ (1)
Tìm các giá trị nguyên dương của m để (1) có nghiệm nguyên
Câu IV(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC; BO cắt EF tại I, M là điểm di chuyển trên CE

1, tính góc BIF
2, Gọi H là giao điểm của BM và EF.Chứng minh rằng nếu AM=AB thì tứ giác ABHI nội tiếp
3,Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE,DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ max

Câu V(1 điểm)

Cho 3 số a,c,b thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max của biểu thức

$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Celia: 20-06-2012 - 12:31

I don't know what I want, so don't ask me
’Cause I'm still trying to figure it out
Don't know what's down this road, I'm just walking
Trying to see through the rain coming down
Even though I'm not the only one
Who feels the way I do


-----------=============----------Dân Anh Lanh Chanh Học Toán---------------------===========--------Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-06-2012 - 12:45

2, Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
(x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012 & \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0
&
\end{matrix}\right.$

Bài này em gõ nhầm rồi kìa :) phải là y chứ
Nhân 2 vế phương trình đầu với $\sqrt{x^2+1}-x$ được $y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x$
Tương tự $x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$
Trừ theo vế $\Rightarrow x=-y$
Thay vào 2 ta tìm được nghiệm $x=\pm 2$ từ đây tìm được $y=\mp 2$
Vậy hệ có nghiệm $\boxed{(x;y)=(2;-2);(-2;2)}$

Câu III(2 điểm)
1,Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $(n^2+n+1)$ không chia hết cho 9

Giả sử tồn tại số tự nhiên $n$ để $n^2+n+1$ không chia hết cho 9
Đặt $A=n^2+n+1$. $A\vdots 9\Rightarrow 4A\vdots 9 \,\,\,\,(1)$
Ta có: $4A=4(b^2+n+1)=4n^2+4n+1+3=(2n+1)^2+3$
$A\vdots 9\Rightarrow 4A \vdots 3\Rightarrow (2n+1)^2 \vdots 3\Rightarrow 2n+1\vdots 3$
Nên $(2n+1)^2\vdots9\Rightarrow (2n+1)^2+3\not\vdots 9\Rightarrow 4A\not\vdots 9(2)$
(1) và (2) mâu thuẫn. Nên giả trử trên là sai. Vậy với mọi số nguyên n thì $(n^2+n+1)$ không chia hết cho 9
Câu Câu III ý 2 có sai đề không nhỉ :-?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-06-2012 - 12:52

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 863 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 20-06-2012 - 15:06

Câu III(2 điểm)
1,Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $(n^2+n+1)$ không chia hết cho 9



Giả sử $n^{2}+n+1\vdots 9$

$\Rightarrow n^{2}+n+1=9k;(k \in \mathbb{N}^{*}$ do $n^{2}+n+1> 0\forall n \in \mathbb{R})$

Theo giả thiết, ta có $n;k$ là $2$ giá trị nguyên dương nên ta cần giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$n^{2}+n+1=9k$

$\Leftrightarrow n^{2}+n+1-9k=0$

$\Delta =1-4(1-9k)=36k-3$

Để phương trình $n^{2}+n+1=9k$ có nghiệm nguyên dương thì giá trị $\Delta$ phải là số chính phương nên ta đặt $36k-3=a^{2}$

$36k-3=a^{2}$

$\Leftrightarrow 36k-a^{2}=3$


$\Leftrightarrow 3(12k-1)=a^{2}$

Nhận thấy rằng $(12k-1)$ không thể chia hết cho $3$

$\Rightarrow 3(12k-1)$ không thể là số chính phương

$\Rightarrow$ phương trình $n^{2}+n+1=9k$ không có giá trị nguyên dương

$\Rightarrow$ phương trình $n^{2}+n+1$ không chia hết cho $9$




------------------------------------------------------------


special thanks to nguyenta98 :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 20-06-2012 - 15:07

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#4 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 20-06-2012 - 15:35

Thời gian làm bài : 150 phút


Câu I(2 điểm)
1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$
2, cho $x,y$ thỏa mãn $x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$
Tính giá trị $A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$


câu I.2:

mũ 3 cả 2 vế của GT và chú ý đẳng thức $ (y+\sqrt{y^2+1})(y-\sqrt{y^2+1})=-1$ ta có:

$ x^3=2y-3(\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}} =2y-3x $

$ \Rightarrow y=\frac{x^3+3x}{2} $

thay vào A ta dễ tính được $ A=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 20-06-2012 - 15:35

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#5 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 20-06-2012 - 16:22

1, Giải phương trình $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$

-Chém câu dễ :D
-Có $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=\left [ \left ( x-2 \right )^2+7 \right ]\left [ \left ( x^2-4 \right )^2+5 \right ]\geq 35$
Dấu bằng xảy ra khi x=2
-Do đó pt có nghiệm x=2

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#6 lordsky216

lordsky216

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11A1, THPT Văn Lâm, Hưng Yên

Đã gửi 20-06-2012 - 17:58

Câu V(1 điểm)

Cho 3 số a,c,b thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max của biểu thức

$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$


Đặt x=a+1 ; y=b+1 ; z=c+1
Vậy $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$
$B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Ta có: do $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$
$\Rightarrow \left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right ) + \left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 1-\frac{z}{y} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} \leq 2 + \frac{x}{z} + \frac{z}{x}$
Lại có: do $1\leq x\leq z\leq 2$ nên $\frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2$
$\Leftrightarrow \left ( 2-\frac{x}{z} \right )\left ( 2-\frac{z}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{5}{2}$
Vậy:
$B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$=$3+\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right )+\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )\leq 3+2+2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )\leq 10$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ b=c=1; a=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lordsky216: 20-06-2012 - 20:18

Không có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó.




#7 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 20-06-2012 - 19:59

Hihi, chém nào:
bài 1: $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$
$=a^2(b-2c)-b^2(b-2c)-b^2(a-b)-b^2c+2c^2(a-b)+abc$
$=(a-b)(ab-2ac-bc+2c^2)$
$(a-b)(a-c)(b-2c)$
Bài 2b:
Mình không nghĩ bài này sai đề, vì có thể tìm được cả x,y,z
$(x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{2012})=2012$
.....
$<=> x+y=0$
$<=> x=-y$
thay vào phương trình 2, ta được $(y-2)^2+(z-2)^2=0$
vậy y=2,z=2,x=-2

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#8 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 20-06-2012 - 20:08

câu III ý 2 cũng không sai đề đâu:
$x^2-m^2x+2m+2=0$
giả sử phương trình có nghiệm nguyên x1,x2
Lúc đó, theo hệ thức Viet, ta có:
x1+x2=$m^2$=S
x1x2=2m+2=P
nếu m=0, phương trình vô nghiệm
nếu $m \geq 1$
=> x1,x2 >0.=> x1,x2 $\geq 1$
=> $(x_{1}-1)(x_{2}-1)\geq 0$
...
=> $-m^2+2m+3 \geq 0$
=> $(m+1)(m-3) \leq 0$
$=> 1\leq m\leq 3$
=> m =1 hay m= 2 hay m=3, đến đây, thử từng giá trị vào => m

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#9 Celia

Celia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hành tinh thứ 3 trong hệ Mặt trời =))

Đã gửi 20-06-2012 - 21:50

câu III ý 2 cũng không sai đề đâu:
$x^2-m^2x+2m+2=0$
giả sử phương trình có nghiệm nguyên x1,x2
Lúc đó, theo hệ thức Viet, ta có:
x1+x2=$m^2$=S
x1x2=2m+2=P
nếu m=0, phương trình vô nghiệm
nếu $m \geq 1$
=> x1,x2 >0.=> x1,x2 $\geq 1$
=> $(x_{1}-1)(x_{2}-1)\geq 0$
...
=> $-m^2+2m+3 \geq 0$
=> $(m+1)(m-3) \leq 0$
$=> 1\leq m\leq 3$
=> m =1 hay m= 2 hay m=3, đến đây, thử từng giá trị vào => m



mình lại làm ra là m=-1 cơ!, hơn nữa đâu có dữ kiện nào cho thấy m phải nguyên mà bạn làm vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Celia: 20-06-2012 - 21:52

I don't know what I want, so don't ask me
’Cause I'm still trying to figure it out
Don't know what's down this road, I'm just walking
Trying to see through the rain coming down
Even though I'm not the only one
Who feels the way I do


-----------=============----------Dân Anh Lanh Chanh Học Toán---------------------===========--------Hình đã gửi


#10 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 21-06-2012 - 17:07

mình lại làm ra là m=-1 cơ!, hơn nữa đâu có dữ kiện nào cho thấy m phải nguyên mà bạn làm vậy?

Bạn ơi đọc kĩ lại đề nhé tìm m nguyên dương đấy

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#11 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 460 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-06-2012 - 17:52

Mọi người giúp mình câu c bài hình với :)

#12 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 19-06-2013 - 14:17

Thời gian làm bài: $150$ phút

Bài 1: ($2$ điểm)

  $1)$ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

       $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$

  $2)$ Cho $x,y$ thỏa

       $x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$

       Tính giá trị biểu thức sau

       $A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$

Bài 2: ($2$ điểm)

  $1)$ Giải phương trình:

        $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$

  $2)$ Giải hệ phương trình sau

        $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$

Bài 3: ($2$ điểm)

  $1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$

  $2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.

Bài 4: ($3$ điểm)

  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.

  $1)$ Tính số đo góc $BIF$

  $2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.

  $3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.

Câu 5: ($1$ điểm)

  Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  $B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 19-06-2013 - 14:23

  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#13 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-06-2013 - 14:38

Bài 2: ($2$ điểm)
$1)$ Giải phương trình:
$(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$

Phương trình tương đương $[(x-2)^2+7] \cdot [(x^2-4)^2+5]=35$.
Dễ nhận thấy $VT \ge 35$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=2$.


$2)$ Cho $x,y$ thỏa
$x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$
Tính giá trị biểu thức sau
$A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$

Áp dụng tính chất: Nếu $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Vì $x- \sqrt[3]{y- \sqrt{y^2+1}}- \sqrt[3]{y+ \sqrt{y^2+1}}=0$ nên $$x^3-(y- \sqrt{y^2+1})-(y+ \sqrt{y^2+1})=3x \sqrt[3]{ \left( y- \sqrt{y^2+1} \right) \left( y+ \sqrt{y^2+1} \right)} \Leftrightarrow x^3+3x-2y=0$$
Viết lại $A=(y+x)(x^3+3x-2y)+1=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-06-2013 - 15:23

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#14 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 19-06-2013 - 14:56

 

Thời gian làm bài: $150$ phút

Bài 1: ($2$ điểm)

  $1)$ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

       $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$

 

 

 

Không biết dúng hay sai nữa, nhưng mà cứ giải phát :

$a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$

$=a^2b-2a^2c+b^2c-b^2a+2c^2a-2c^2b+abc$

$=ab(a-b)+2c^2(a-b)+bc(a-b)-2c(a-b)(a+b)$

$=(a-b)(ab+2c^2+bc-2c(a+b))$

$=(a-b)(c-a)(2c-b)$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#15 lequanghung98

lequanghung98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Đã gửi 19-06-2013 - 15:05

$2)$ Giải hệ phương trình sau

        $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$

 

Từ phương trình đầu, ta có: $(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012\Leftrightarrow (x-\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012(x-\sqrt{x^{2}+2012}) (1)$

$(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})(y-\sqrt{y^{2}+2012})=2012(y-\sqrt{y^{2}+2012}) (2)$

Khai triển $(1), (2)$, thu gọn, ta được mối liên hệ $x=-y$ sau đó thay vào phương trình phía dưới.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 19-06-2013 - 18:08


#16 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 19-06-2013 - 15:17



 

Câu 5: ($1$ điểm)

  Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  $B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$.

 

bài cuối có thể đưa về bài toán cho $\ 1\leq x\leq y\leq z\leq2$(bằng cách x=a+1 ;y=b+1;z=c+1) .tìm max của         $ (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$ (=10)

chắc bạn nào hay làm bđt thì đã quen vói bài này

 

do $\ 1\leq x\leq y\leq z\leq2$ nên ta có $\frac{1}{2}\leq \frac{x}{z} <2$ 

nên $ (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{z^{2}}+1\leq \frac{5x}{2z}\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{5}{2}$  $(1)$

ta lại có $ (\frac{y}{z}-1)(\frac{x}{y}-1)\geq 0\Rightarrow \frac{x}{z}+1\geq \frac{y}{z}+\frac{x}{y}$

tương tự ta có$\large (\frac{z}{y}-1)(\frac{y}{x}-1)\geq 0\Rightarrow \frac{z}{x}+1\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x}$

cộng vế suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2\leq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$ $(2)$

nhân cáu biết tức đó ra từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 19-06-2013 - 17:43

tàn lụi


#17 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 19-06-2013 - 17:48

 

Bài 4: ($3$ điểm)

  Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.

  $1)$ Tính số đo góc $BIF$

  $2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.

  $3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.

Câu 5: ($1$ điểm)

  Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  $B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$.

 

 

Chém vài bài :D

 

Câu 4 : (tạm thời chưa có hình vì Geo nhà mình hỏng rồi  :luoi: )

1. Ta có : $\widehat{BIF}=180^{0}-\widehat{IBF}-\widehat{IFB}=90^{0}-\widehat{IBF}-\widehat{OEF}=90^{0}-\widehat{OBC}-\widehat{OCB}=90^{0}-\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})=45^{0}$

2. Ta có : $\triangle{ABM}$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{ABM}=45^{0}$

$\Rightarrow \widehat{OBH}=45^{0}-\widehat{ABO}=45^{0}-\frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{OCF}=\widehat{OFH}$

Do đó : $OBFH$ nội tiếp

Suy ra $\widehat{OHB}=\widehat{OFB}=90^{0}\Rightarrow OH\perp BM$

Mà $AO\perp BM$ nên $A$,$O$,$H$ thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{BAH}=45^{0}$

Xét tứ giác $ABHI$ có $\widehat{BAH}=\widehat{BIH}=45^{0}$ nên $ABHI$ nội tiếp.

3. Kẻ $NK\perp EF$. Ta có $P$,$K$,$Q$ thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn)

Vì $PQ$ là đường thẳng Sim-sơn ứng với điểm $N$ của tam giác $DEF$ nên $PQ\leq EF$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ DN là đường kính của ($O$) hay $M$ là giao điểm của $BN$ với $AC$.

Câu 5 :

Đặt $a+1=x$, $b+1=y$, $c+1=z$. Do $0\leq a\leq b\leq c\leq 1\Rightarrow 1\leq x\leq y\leq z\leq 2$

Biểu thức $B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+\sum (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Vì $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên

$(\frac{x}{y}-1)(\frac{y}{z}-1)\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$

$(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{y}-1)\geq 0\Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{z}{x}+1$

Vậy $B\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

Lại có : $(\frac{x}{z}-1)(\frac{z}{x}-2)\geq 0\Leftrightarrow 3\geq \frac{2x}{z}+\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3-\frac{x}{z}\leq 3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy : $B\leq 10$

 

 

 

Bài 3: ($2$ điểm)

  $1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$

  $2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.

Câu 3 :

1. Xét các trường hợp sau :

- Nếu $n=3k$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+3k+1$ không chia hết cho $3$

- Nếu $n=3k+1$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+9k+3$ không chia hết cho $9$

- Nếu $n=3k+2$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+15k+7$ không chia hết cho $3$

Vậy $n^{2}+n+1$ không chia hết cho $9$ với mọi số tự nhiên $n$

2. Phương trình ($1$) có nghiệm nguyên khi $\Delta'=m^{2}-2m-2=(m-1)^{2}-3$ là số chính phương.

Đặt : $(m-1)^{2}-3=k^{2}\Leftrightarrow (m-k-1)(m+k-1)=3\Leftrightarrow ...$

P/S : mod nào rảnh rảnh ngồi vẽ cho mình cái hình với  :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-06-2013 - 10:38

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#18 NguyenThuAn98

NguyenThuAn98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 20-06-2013 - 05:55

Chém vài bài :D

 

Câu 3 :

1. Xét các trường hợp sau :

- Nếu $n=3k$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+3k+1$ không chia hết cho $3$

- Nếu $n=3k+1$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+9k+3$ không chia hết cho $9$

- Nếu $n=3k+2$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+15k+7$ không chia hết cho $3$

Vậy $n^{2}+n+1$ không chia hết cho $9$ với mọi số tự nhiên $n$

2. Phương trình ($1$) có nghiệm nguyên khi $\Delta'=m^{2}-2m-2=(m-1)^{2}-3$ là số chính phương.

Đặt : $(m-1)^{2}-3=k^{2}\Leftrightarrow (m-k-1)(m+k-1)=3\Leftrightarrow ...$

P/S : mod nào rảnh rảnh ngồi vẽ cho mình cái hình với  :P

bạn xem lại phần delta giúp mình với  :icon6:



#19 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 20-06-2013 - 10:45

xin lỗi các bạn, câu $3b$ mình nhìn nhầm, thực ra nó không dễ như vậy  :)

 

Bài 3: ($2$ điểm)

  $2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.

Để phương trình ($1$) có nghiệm nguyên thì $\Delta=m^{4}-8m-8$ phải là số chính phương.

Đặt $m^{4}-8m-8=n^{2}$

Ta có : Vì $m$ là số nguyên dương nên $m^{4}-8m-8<m^{4}$

Xét hiệu $n^{2}-(m^{2}-1)^{2}=m^{4}-8m-8-m^{4}+2m^{2}-1=2m^{2}-8m-9=2(m-2)^{2}-17$

- Nếu $2(m-2)^{2}-17\leq 0$ thì $2-\sqrt{\frac{17}{2}}\leq m\leq2+\sqrt{\frac{17}{2}}$ nên $m\in${$1$;$2$;$3$;$4$}

Thay vào ta thấy $m=3$ thoả mãn

- Nếu $2(m-2)^{2}-17>0$ thì $(m^{2}-1)^{2}<n^{2}<m^{4}$ (vô nghiệm)

Vậy $\boxed{m=3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-06-2013 - 10:50

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#20 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 03-07-2013 - 21:05

Bài 3.1 Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho $n^2+n+1 \vdots 9 <=> n^2+n+1=9k <=>4n^2+4n+4=36k <=>(2n+1)^2=36k-3 <=>(2n+1)^2=3(12k-1) =>12k-1\vdots 3$(vô lý). Điều vô lý đó cho ta đ.p.c.m






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh