Bài 4: ($3$ điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.
$1)$ Tính số đo góc $BIF$
$2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.
$3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.
Câu 5: ($1$ điểm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$.
Chém vài bài
Câu 4 : (tạm thời chưa có hình vì Geo nhà mình hỏng rồi )
1. Ta có : $\widehat{BIF}=180^{0}-\widehat{IBF}-\widehat{IFB}=90^{0}-\widehat{IBF}-\widehat{OEF}=90^{0}-\widehat{OBC}-\widehat{OCB}=90^{0}-\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})=45^{0}$
2. Ta có : $\triangle{ABM}$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{ABM}=45^{0}$
$\Rightarrow \widehat{OBH}=45^{0}-\widehat{ABO}=45^{0}-\frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{OCF}=\widehat{OFH}$
Do đó : $OBFH$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{OHB}=\widehat{OFB}=90^{0}\Rightarrow OH\perp BM$
Mà $AO\perp BM$ nên $A$,$O$,$H$ thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{BAH}=45^{0}$
Xét tứ giác $ABHI$ có $\widehat{BAH}=\widehat{BIH}=45^{0}$ nên $ABHI$ nội tiếp.
3. Kẻ $NK\perp EF$. Ta có $P$,$K$,$Q$ thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn)
Vì $PQ$ là đường thẳng Sim-sơn ứng với điểm $N$ của tam giác $DEF$ nên $PQ\leq EF$
dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ DN là đường kính của ($O$) hay $M$ là giao điểm của $BN$ với $AC$.
Câu 5 :
Đặt $a+1=x$, $b+1=y$, $c+1=z$. Do $0\leq a\leq b\leq c\leq 1\Rightarrow 1\leq x\leq y\leq z\leq 2$
Biểu thức $B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+\sum (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
Vì $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên
$(\frac{x}{y}-1)(\frac{y}{z}-1)\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$
$(\frac{y}{x}-1)(\frac{z}{y}-1)\geq 0\Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{z}{x}+1$
Vậy $B\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Lại có : $(\frac{x}{z}-1)(\frac{z}{x}-2)\geq 0\Leftrightarrow 3\geq \frac{2x}{z}+\frac{z}{x}\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3-\frac{x}{z}\leq 3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy : $B\leq 10$
Bài 3: ($2$ điểm)
$1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$
$2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.
Câu 3 :
1. Xét các trường hợp sau :
- Nếu $n=3k$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+3k+1$ không chia hết cho $3$
- Nếu $n=3k+1$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+9k+3$ không chia hết cho $9$
- Nếu $n=3k+2$ thì $n^2+n+1=9k^{2}+15k+7$ không chia hết cho $3$
Vậy $n^{2}+n+1$ không chia hết cho $9$ với mọi số tự nhiên $n$
2. Phương trình ($1$) có nghiệm nguyên khi $\Delta'=m^{2}-2m-2=(m-1)^{2}-3$ là số chính phương.
Đặt : $(m-1)^{2}-3=k^{2}\Leftrightarrow (m-k-1)(m+k-1)=3\Leftrightarrow ...$
P/S : mod nào rảnh rảnh ngồi vẽ cho mình cái hình với
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-06-2013 - 10:38