Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c dương thõa mãn ab+bc+ca​=1.Tìm GTNN của biểu thức A=$\prod$(a²+2b²+3)

[phuc_90]

Đặt $x=1+a^2$ , $y=1+b^2$ , $z=1+c^2$

Ta có $xyz=(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)$

$=[(a+b)(a+c)][(b+c)(b+a)][(c+a)(c+b]$

$=(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$

$\geq \frac{64}{81}(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2$

$\geq \frac{64}{27}$

Khi đó $A=9xyz+2(x^2y+y^2z+z^2x)+4(x^2z+y^2x+z^2y)$

$\geq 9xyz+6\sqrt[3]{x^2y.y^2z.z^2x}+12\sqrt[3]{x^2z.y^2x.z^2y}$

$=27xyz$

$\geq 64$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

_______________________________________________________________

Bài toán này thú vị hơn nhiều

Cho $a,b,c$ là các số thực .Chứng minh rằng

$$(a^2+2b^2+3)(b^2+2c^2+3)(c^2+2a^2+3) \geq 24(a+b+c)^2$$