Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: \frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 21-06-2012 - 14:33

Các anh chị ai làm được giúp em bài này với!
Cho a, b, c d d­ương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 21-06-2012 - 16:39

Vì $abc=8$ nên ta đặt $a=\frac{2x}{y};b=\frac{2y}{z};c=\frac{2z}{x}\Rightarrow a+2=\frac{2(x+y)}{y},...$
Viết lại BĐT $$\frac{2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )}{2}\geq \sum \frac{\frac{2(x+y)}{y}}{\frac{2(y+z)}{z}}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \sum \frac{z(x+y)}{y(y+z)}$$
$$\sum \frac{x}{y}-\frac{z(x+y)}{y(y+z)}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{x(y+z)-z(x+y)}{y(y+z)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x-z}{y+z}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-z}{y+z}+\frac{z-y}{x+y}+\frac{y-x}{z+x}\geq 0$$
BĐT này đúng theo BĐT Hoán vị. Hoắc nếu không dùng nó thì ta có thể giả sử $x=max(x;y;z)$.
$$\Leftrightarrow (x-z).\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z} \right )+(z-y)\left ( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+z} \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{(x-z)(x-y)}{(x+z)(y+z)}+\frac{(z-y)^2}{(x+y)(y+z)}\geq 0$$
Đúng theo điều giả sử.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$

P/s: Mod off topic tại đây đi

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#3 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 21-06-2012 - 16:41

Anh ơi, em đang học lớp 8 mà anh giải theo cách này thì em cũng botay.com luôn.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#4 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 21-06-2012 - 17:40

Các anh chị ai làm được giúp em bài này với!
Cho a, b, c d d­ương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}$


Đây là cách giải của anh, đơn giản chỉ dùng bđt Côsi

Đặt $x=2+a$ , $y=2+b$ , $z=2+c$

Khi đó bđt trở thành $\frac{x+y+z}{2}-3 \geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

tương đương $xyz(x+y+z)-2(x^2z+y^2x+z^2y)-6xyz \geq 0$

BĐT này hiển nhiên đúng vì

$xyz(x+y+z)-2(x^2z+y^2x+z^2y)=x^2z(y-2)+y^2x(z-2)+z^2y(x-2)$

$\geq 3xyz\sqrt[3]{(x-2)(y-2)(z-2)}$ ( theo bđt Côsi cho 3 số )

$=3xyz\sqrt[3]{abc}$

$=6xyz$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh