Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: \frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
Các anh chị ai làm được giúp em bài này với!
Cho a, b, c d d­ương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2
Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Vì $abc=8$ nên ta đặt $a=\frac{2x}{y};b=\frac{2y}{z};c=\frac{2z}{x}\Rightarrow a+2=\frac{2(x+y)}{y},...$
Viết lại BĐT $$\frac{2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )}{2}\geq \sum \frac{\frac{2(x+y)}{y}}{\frac{2(y+z)}{z}}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \sum \frac{z(x+y)}{y(y+z)}$$
$$\sum \frac{x}{y}-\frac{z(x+y)}{y(y+z)}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{x(y+z)-z(x+y)}{y(y+z)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x-z}{y+z}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-z}{y+z}+\frac{z-y}{x+y}+\frac{y-x}{z+x}\geq 0$$
BĐT này đúng theo BĐT Hoán vị. Hoắc nếu không dùng nó thì ta có thể giả sử $x=max(x;y;z)$.
$$\Leftrightarrow (x-z).\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z} \right )+(z-y)\left ( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+z} \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{(x-z)(x-y)}{(x+z)(y+z)}+\frac{(z-y)^2}{(x+y)(y+z)}\geq 0$$
Đúng theo điều giả sử.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$

P/s: Mod off topic tại đây đi

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#3
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
Anh ơi, em đang học lớp 8 mà anh giải theo cách này thì em cũng botay.com luôn.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#4
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Các anh chị ai làm được giúp em bài này với!
Cho a, b, c d d­ương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a + b + c}{2} \geq \frac{2 + a}{2 + b} + \frac{2 + b}{2 + c} + \frac{2 + c}{2 + a}$


Đây là cách giải của anh, đơn giản chỉ dùng bđt Côsi

Đặt $x=2+a$ , $y=2+b$ , $z=2+c$

Khi đó bđt trở thành $\frac{x+y+z}{2}-3 \geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

tương đương $xyz(x+y+z)-2(x^2z+y^2x+z^2y)-6xyz \geq 0$

BĐT này hiển nhiên đúng vì

$xyz(x+y+z)-2(x^2z+y^2x+z^2y)=x^2z(y-2)+y^2x(z-2)+z^2y(x-2)$

$\geq 3xyz\sqrt[3]{(x-2)(y-2)(z-2)}$ ( theo bđt Côsi cho 3 số )

$=3xyz\sqrt[3]{abc}$

$=6xyz$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh