Chủ đề này có 1 trả lời

[vietfrog]

Chứng minh rằng:
\[{e^{\cos x - 1}} \ge \frac{{2 - {x^2}}}{2}\]
P/s: Sắp thi rồi BĐT tý chứ anh em!

[phuc_90]

Nếu $x \leq 0$ thì ta đặt $x=-y$ với $y \geq 0$ thì bđt trở thành $\large e^{cos y-1} \geq \frac{2-y^2}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh bđt cho trường hợp $x \geq 0$

Xét $\large f\left(x\right)=e^{cos x-1}+\frac{x^2}{2}$ với mọi $x \geq 0$

$\large \frac{\partial f}{\partial x}=-sin x \ \ e^{cos x-1}+x$

$\large \frac{\partial^{2}f}{\partial x^2}=-cos x \ \ e^{cos x-1}+sin^2x \ \ e^{cos x-1}+1$

$\large =\frac{e^{1-cos x}-cos x+sin^2x}{e^{1-cos x}}$

$\large \geq \frac{1-cos x+sin^2x}{e^{1-cos x}}$

$\large \geq 0$

Suy ra $\ \ \ \ \large \frac{\partial f}{\partial x}\left(x\right) \geq \frac{\partial f}{\partial x}\left(0\right)=0$

Kéo theo $\ \ \ \ \large f\left(x\right) \geq f\left(0\right)=1$

BĐT được chứng minh