Chủ đề này có 23 trả lời

[chinhtam0701]

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5}+5n^{3}-6n$ chia hết cho 30.

2. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n\left ( n+1 \right )+6$ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $2n^{2}+n+8$ không phải là số chính phương.

Câu 2. (2 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right.$

2. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2xy-yz-zx$.

Câu 3. (3 điểm)

Cho đường tròn $\left ( O, R \right )$ và dây cung $BC$ cố định $\left (BC<2R \right )$. Một điểm $A$ di động trên đường tròn $\left ( O, R \right )$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $AD$ là đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài $\angle BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng tam giác $AMN$ cân.

2. Gọi $E, F$ là hình chiếu của $D$ lên $BH, CH$. Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $EF$.

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt đường phân giác trong $\angle BAC$ tại $K$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4. (1 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $(x+1)(y+z)=xyz+2$

Câu 5. (1 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R=2cm$. Chứng minh rằng trong số 17 điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{17}$ bất kì nằm trong tứ giác $ABCD$ luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhtam0701: 23-06-2012 - 20:56

[henry0905]

câu 1.1 kì quá. Mong bạn xem lại đề
1.2) n(n+1) không chi hết cho 3 $\Rightarrow$ n=1(mod 3)
$\Rightarrow$ $2n^{2}+n+8$=2(mod3)
Mà 1 SCP chia 3 dư1 nên ta có dpcm
2) $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0 & \\ (x-2y)^{2}-(\frac{2}{x})^{2}+1=0 & \end{matrix}\right.$
Đặt x-2y=a, $\frac{2}{x}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b+1=0 & \\ a^{2}-b^{2}+1=0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $(b-1)^{2}-b^{2}+1=0$
$\Leftrightarrow -2b+2=0\Leftrightarrow b=1$ $\Leftrightarrow a=0$
Thế vào tính được x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 23-06-2012 - 15:00

[daovuquang]

Câu 1.
1. $A=n^5+5n^3-6n=n(n^4+5n^2-6)=n(n^2-1)(n^2+6)=(n-1)n(n+1)(n^2+6)$
Dễ thấy $(n-1)n(n+1) \vdots 6.$
Ta sẽ chứng minh $A\vdots 5.$
Thật vậy:
$*n=5k\Rightarrow A\vdots 5.$
$*n=5k+1\Rightarrow (n-1)\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5.$
$*n=5k+2$ hoặc $n=5k+3\Rightarrow (n^2+6)\vdots5\Rightarrow A\vdots5.$
$*n=5k+4\Rightarrow (n+1)\vdots 5\Rightarrow A\vdots5.$
Kết hợp lại, ta được đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daovuquang: 23-06-2012 - 14:49

[daovuquang]

Câu 2.
1. $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0(1)\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1=0(2)\\ \end{matrix}\right.$
Đặt $x-2y=a; \frac{2}{x}=b$, ta viết lại pt:
$\left\{\begin{matrix} a-b+1=0\\a^2-b^2+1=0\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-b+1=0\\a^2-b^2=a-b\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-b+1=0\\(a-b)(a+b-1)=0\\ \end{matrix}\right.$
Xét 2 trường hợp:
TH1: $a-b=0\Rightarrow$ loại do $a-b+1=1\neq0.$
TH2: $a+b=1\Rightarrow a+b=b-a\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow x=2y.$
Thay vào pt $(1)$ được $\frac{2}{x}=1\Leftrightarrow x=2\Leftrightarrow y=4.$
Vậy pt có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;4).$

[henry0905]

2.2 Không biết đúng không
$(x+y-z)^{2}=2012+2(xy-xz-yz)\geq 0$
$\Rightarrow 2(xy-xz-yz)\geq -2012$
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 23-06-2012 - 15:13

[henry0905]

3.1) phân giác $\widehat{BHC}$ cắt BC tại W
ta có $\widehat{AHN}+\widehat{DHW}=90^{\circ}$
Mà $\widehat{HWD}+\widehat{DHW}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\widehat{AHN}=\widehat{HWD}$
$\Rightarrow$ $\Delta ANH\sim \Delta BHW$
$\Rightarrow$ $\widehat{ANH}=\widehat{\frac{BHC}{2}}$
C/m tương tự được $\widehat{AMH}=\widehat{\frac{BHC}{2}}$
$\Rightarrow$ $\Delta AMN$ cân
3.2) $HF.HC=HB.HE=HD^{2}$
$\Rightarrow \Delta HFE\sim \Delta HBC$
$\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{HBC}$
BH,CH cắt AC,AB tại I,G
$\Rightarrow \widehat{IGC}=\widehat{HBC}$
$\Rightarrow$ GI//EF
Mà GI vuông góc AO (dễ c/m)
$\Rightarrow$ EF vuông góc AO

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 23-06-2012 - 16:40

[banhbaocua1]

2.2 Không biết đúng không
$(x+y-z)^{2}=2012+2(xy-xz-yz)\geq 0$
$\Rightarrow 2(xy-xz-yz)\geq -2012$
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

sai đề r bạn ơi @@!

[henry0905]

sai đề r bạn ơi @@!

Mình thấy đề được post sao thì mình giải vậy @@

[oxi]

Đề thiếu à. Sao chỉ có 5 bài, mới có 9/10 điểm. Còn thiếu một bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oxi: 23-06-2012 - 17:19

[triethuynhmath]

Mình xin chém câu phương trình nghiệm nguyên:
$(x+1)(y+z)=xyz+2$
$<=>xyz+2-xy-xz-y-z=0$
$<=>x(yz-y-z)+2-y-z=0$
$<=>x(z-1)(y-1)-x-y-z+2=0$
$x(y-1)(z-1)=x+y-1+z-1$
Đền đây, do x,y,z nguyên dương nên $x \geq 1>0,y-1\geq 0,z-1\geq 0$
xét y=1 hoặc z=1, phương trình vô nghiệm
xét y>1,z>1, đặt y-1=a,z-1=b( $a,b > 0$)
Phương trình trở thành : $xab=x+a+b$
đến đây bài toán trở thành bài toán giải phương trình nghiệm nguyên dương đơn giản, chắc các bạn giải được
P/s: cách này dài quá , không biết có ai có cách hay hơn để mình tham khảo

[triethuynhmath]

Mong bạn trình bày kĩ chỗ màu đỏ @@

Mình không phải người giải nhưng để mình giải thích cho bạn hiểu:
$(x+y)^2-z(x+y)+z^2=(x+y-\frac{1}{2}z)^2+\frac{3}{4}z^{2} \geq 0$
vì thế nên dấu = xảy ra <=> x+y=z=0
thật ra để đề kiểu nào cũng dễ dàng nhìn ra cách giải bởi vì cả 2 đề đều phải dùng tới M+2012 mà!

[triethuynhmath]

Đúng là đề năm nay không khó = năm ngoái thật nhưng mà mình yếu toán logic quá nên vẫn chưa giải được bài cuối

[triethuynhmath]

Đề thiếu à. Sao chỉ có 5 bài, mới có 9/10 điểm. Còn thiếu một bài.

chắc bạn đó đăng đề sai thang điểm chứ mình thấy cấu trúc đề hợp lí rồi chắc không thiếu đâu

[banhbaocua1]

Đúng là đề năm nay không khó = năm ngoái thật nhưng mà mình yếu toán logic quá nên vẫn chưa giải được bài cuối

bạn thi trường nào thế

[triethuynhmath]

bạn thi trường nào thế

Mình ở tphcm và thi trường năng khiếu,trung học thực hành đại học sư phạm với lại các trường chuyên của sgd, mình mới được tin đậu nk vui quá trời

[triethuynhmath]

Hình như chưa ai giải câu hình cuối thì phải mình chém luôn nhá:
Cho KM cắt BH tại S, KN cắt HC tại P, KH cắt BC tại T
có lẽ ai cũng nhận thấy rằng HK đi qua trung điểm của BC,và tất nhiên điểm ấy cố định
Ta sẽ chứng minh T là trung điểm BC
Từ tam giác AMN cân cho ta AK chính là đường kính của đường tròn (AMN)
=> KS vuông góc AB.vậy KS // HP
CMTT KP //HS
=> HSKP là hình bình hành
vậy HK đi qua trung điểm của SP
Giờ chỉ cần chứng minh SP // BC rồi sử dụng định lí Ta-let nữa là xong
Ta có tam giác HMB đồng dạng với tam giác HNC (gg) (chứng minh được)
=> $\frac{HB}{HC}=\frac{HM}{HN}$
Rồi lại $\angle HSK=\angle HPK$ (góc đối của hbh) cho ta $\angle HSM=HPN$
=> tam giác HSM đồng dạng tam giác HPN (gg)(chứng minh được)
=> $\frac{HS}{HP}=\frac{HM}{HN}$
=> $\frac{HS}{HP}=\frac{HB}{HC}$
=> SP // BC(định lí Ta-lét đảo)
Đến đây là ta đã có HK đi qua trung điểm của BC(Q.E.D)

[chinhtam0701]

Mình xin chém câu phương trình nghiệm nguyên:
$(x+1)(y+z)=xyz+2$
$<=>xyz+2-xy-xz-y-z=0$
$<=>x(yz-y-z)+2-y-z=0$
$<=>x(z-1)(y-1)-x-y-z+2=0$
$x(y-1)(z-1)=x+y-1+z-1$
Đền đây, do x,y,z nguyên dương nên $x \geq 1>0,y-1\geq 0,z-1\geq 0$
xét y=1 hoặc z=1, phương trình vô nghiệm
xét y>1,z>1, đặt y-1=a,z-1=b( $a,b > 0$)
Phương trình trở thành : $xab=x+a+b$
đến đây bài toán trở thành bài toán giải phương trình nghiệm nguyên dương đơn giản, chắc các bạn giải được
P/s: cách này dài quá , không biết có ai có cách hay hơn để mình tham khảo

Bạn làm theo cách này là ngắn nhất. Vì vai trò của y và z như nhau nên ta luôn giả sử $y\leq z$....

[triethuynhmath]

Bạn làm theo cách này là ngắn nhất. Vì vai trò của y và z như nhau nên ta luôn giả sử $y\leq z$....

cảm ơn bạn vì đã góp ý

[nguyenhuukhoe]

Tớ xin chém nốt câu 5 :is very easy

Từ tâm O của đường tròn , ta hạ các đường vuông góc xuống các dây cung : AB ,BC ,CD ,DA thì có 4 TGNT được tạo thành , chúng đều nội tiếp đường tròn có d = 2cm . Gọi AA_1A_2O là 1 trong 4 TGNT đó (bạn nào pót hộ cái hình , tớ o biết pót , mới g
ia nhập VMF mà) .Từ trung diểm của OA, ta hạ các đường vuông góc xuống các cạnh OA_1, OA_2, AA_1 và AA_2 của TGNT AA_1A_2O thì lần này nò bị chia thành 4 TGNT nhỏ đều nội tiếp đường tròn đường kính 1cm. Còn 3 TGNT kia ,cũng chia theo cách như vậy. Từ đó suy ra có 16 TGNT đường tròn có d=1cm được tạo thành sau quá trình phân chia trên.khi gieo 17 điểm đã cho vào TGNT ABCD thì chúng thuộc vào 16 TGNT trên, theo nguyên lý Derrichle tồn tại 2 điểm cùng thuộc 1 TGNT và do đó khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1cm . suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuukhoe: 02-09-2012 - 08:00

[duongchelsea]

mình xin góp cách khác cho câu 1.1
Ta có: $n^{5}+5n^{3}-6n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10(n-1)n(n+1)$
Từ đây có thể dễ dàng suy ra đpcm.