Chủ đề này có 6 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTNN ,GTLN của biểu thức A=a²b+b²c+c²a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 24-06-2012 - 17:21

[minh29995]

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTNN ,GTLN của biểu thức A=a²b+b²c+c²a

Áp dụng Cauchy-Schwart ta có:
$A=\frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2}a.ab+\sqrt{2}b.bc+\sqrt{2}c.ca|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq 6\sqrt{2}$
Do: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=12$
Do đó:
$-6\sqrt{2}\leq A\leq 6\sqrt{2}$

[viet 1846]

Áp dụng Cauchy-Schwart ta có:
$A=\frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2}a.ab+\sqrt{2}b.bc+\sqrt{2}c.ca|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq 6\sqrt{2}$
Do: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=12$
Do đó:
$-6\sqrt{2}\leq A\leq 6\sqrt{2}$

Đáng tiếc đây là một kết quả sai.

[minh29995]

Đáng tiếc đây là một kết quả sai.

Bạn có thể nói rõ hơn không!!

[kainguyen]

Bạn có thể nói rõ hơn không!!

Do dấu bằng không xảy ra giữa các bất đẳng thức bạn sử dụng.

[Ispectorgadget]

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTNN ,GTLN của biểu thức A=a²b+b²c+c²a

Bài này có trong sách anh Cẩn. Lời giải dùng phương pháp nhân tử Lagrage.

Ta sẽ phân tích như sau:

Xét hàm nhân tử $Lagrange$ như sau: \[f\left( {a;b;c} \right) = {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + {\lambda _1}\left( {a + b + c} \right) + {\lambda _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]

Các điểm cực trị là nghiệm hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\delta f}}{{\delta a}} = \frac{{\delta f}}{{\delta b}} = \frac{{\delta f}}{{\delta c}} = 0\\
a + b + c = 0\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 6
\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2ab + {c^2} + {\lambda _1} + 2{\lambda _2}a = 0\\
2bc + {a^2} + {\lambda _1} + 2{\lambda _2}b = 0\\
2ca + {b^2} + {\lambda _1} + 2{\lambda _2}c = 0\\
a + b + c = 0\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 6
\end{array} \right.\]

Cộng vế với vế của phương trình thứ nhất, thứ hai, thứ ba ta được

\[{\left( {a + b + c} \right)^2} + 3{\lambda _1} + 2{\lambda _2}\left( {a + b + c} \right) = 0 \Leftrightarrow {\lambda _1} = 0\]

Đến đây ta được \[\left\{ \begin{array}{l}
2ab + {c^2} + 2{\lambda _2}a = 0\\
2bc + {a^2} + 2{\lambda _2}b = 0\\
2ca + {b^2} + 2{\lambda _2}c = 0\\
a + b + c = 0\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 6
\end{array} \right.\]

Từ đây ta có \[\frac{{2ab + {c^2}}}{a} = \frac{{2bc + {a^2}}}{b} = \frac{{2ca + {b^2}}}{c}\]

Đây là điều kiện của dấu đẳng thức trong BĐT $Cauchy-Schwarz$ nên ta sẽ chứng minh bài toán như sau:

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có \[{\left[ {\sum {a\left( {2ab + {c^2}} \right)} } \right]^2} \le \sum {{a^2}} .\sum {{{\left( {2ab + {c^2}} \right)}^2}} \]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
\sum {a\left( {2ab + {c^2}} \right)} = 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\\
\sum {{{\left( {2ab + {c^2}} \right)}^2}} = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} + {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = 54
\end{array} \right.\]

Bài viết này được trích dẫn ở boxmath.vn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-06-2012 - 17:54

[Ispectorgadget]

Cho a,b,c thực thõa mãn có tổng bằng 0,a²+b²+c²=6.Tìm GTNN ,GTLN của biểu thức A=a²b+b²c+c²a

Bài này có thểm tìm MAX như sau
Thay $c=-b-a$ ta có $a^2+b^2+(-a-b)^2=6$ suy ra $a^2+b^2+ab=3$ hay $(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}=3$. Từ đây ta thấy tồn tại số thực $a\in [-\pi;\pi]$ sao cho
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + \frac{b}{2} = \sqrt 3 \sin x\\
\frac{{\sqrt 3 b}}{2} = \sqrt 3 \cos x
\end{array} \right.hay\,\left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt 3 \sin x - \cos x\\
b = 2\cos x
\end{array} \right.\]
$$\begin{align*}
&= a^2b+b^2(-a-b)+(-b-a)^2a=a^3+3a^2b-b^3\\
&=(\sqrt{3}sinx-cos x)^3+6cos x(\sqrt{3}sin x-cosx)^2-8cos^3x\\
&=3\sqrt{3}sin ^3x+9(1-cos^2x)cos x-9\sqrt{3}sin x(1-sin^2x)-3cos^3x\\
&=3\sqrt{3}(4sin^3 x-sin x)+3(3cos x-4cos^3x)=-3\sqrt{3}sin 3x-3cos 3x
\end{align*}$$
Tới đây sử dụng BĐT $a sin t+bcos t\le \sqrt{a^2+b^2}$ ta được $A=-3\sqrt{3}sin 3x-3cos 3x\leq 3\sqrt{3+1}=6$
Vậy MAX A = 6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-07-2012 - 09:42