ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ 2012-2013
#1
Đã gửi 25-06-2012 - 17:32
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=x+y+8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.$
Bài 2 (2 điểm)
Cho các số thực $u,v$ sao cho:
$(u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2$
Chứng minh rằng: $u^3+v^3+3uv=1$
Bài 3 (2 điểm)
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho đoạn thẳng $OO'$ cắt đường thẳng $AB$. Đường thẳng $\triangle $ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$, tiếp xúc với $(O')$ tại $D$ và sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\triangle $ lớn hơn khoảng cách từ $B$ đến $\triangle $. Đường thẳng qua $A$ song song với đường thẳng $\triangle $ cắt đường tròn $(O)$ thêm điểm $E$ và cắt đường tròn $(O')$ thêm điểm $F$. Tia $EC$ cắt tia $FD$ tại $G$. Đường thẳng $EF$ cắt các tia $CB$ và $DB$ tại $H$ và $K$
a) Chứng minh tứ giác $BCGD$ nội tiếp
b) Chứng minh tam giác $GHK$ cân
Bài 4 (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương lẻ $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: $x<y<z$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$
b) Chứng minh tồn tại $2013$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,.....,a_{2013}$ sao cho:
$a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2013}}=1$
Bài 5 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính $R$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng $2R^2$
b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thay đổi sao cho $x+y=2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3}$
- nguyễn nhơn nghĩa, Cao Xuân Huy, L Lawliet và 18 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 25-06-2012 - 17:52
Đặt x(x-1)=a, y(y-1)=b
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=8 & \\ ab=12 & \end{matrix}\right.$
Vậy a và b là nghiệm của PT: $X^{2}-8X+12=0$
Sau đó thế vào tính được x,y
-------------
2) Nhân lượng liên hợp
$\Leftrightarrow 1-v-\sqrt{v^{2}-2v+3}=u-\sqrt{u^{2}+2}$
Và $\Leftrightarrow u+\sqrt{u^{2}+2}=1-v+\sqrt{v^{2}-2v+3}$
Cộng lại ta có: u=1-v
Ta có: $u^{3}+v^{3}+3uv=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$ vì u+v=1
$\Leftrightarrow (u+v)^{3}=1$ (dpcm)
4) $x< y< z\Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{y}> \frac{1}{z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow 3< \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 9$
$\Rightarrow x=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7 \end{Bmatrix}$
x=1;3 loại $\Rightarrow x=5;7$
x=5 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}$$\Rightarrow y< 15$
$y=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7;9;11;13 \end{Bmatrix}$
Thế lại thấy y=9$\Rightarrow$ z=45 (thỏa)
x=7 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{21}$
Giải tương tự được y=7,z=21
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm nguyên dương lẻ (x;y;z)=(5;9;45),(7;7;21)
--------------
5a) Các tứ giác nằm trong đường tròn thì 2 cạnh chéo bé hơn 2 dây kéo dài đến đường tròn nên dễ dàng c/m được các tứ giác nằm trong đường tròn có diện tích bé hơn các tứ giác có các đỉnh nằm trên biên
Gọi tứ giác đó là ABCD, AK,CH vuông góc BD tại K,H
$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}BD(AK+CH)\leq \frac{1}{2}BD.AC$
Mà $\frac{1}{2}AC.BD\leq \frac{1}{2}4R^{2}=2R^{2}$
dấu bằng xảy ra khi ABCD là hình vuông
- battlebrawler, L Lawliet, Mai Duc Khai và 7 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-06-2012 - 18:11
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 25-06-2012 - 18:12
- Mai Duc Khai, davildark và triethuynhmath thích
#4
Đã gửi 26-06-2012 - 04:03
$\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{CAE},\widehat{DAF}=\widehat{DFA}$
Mà $\widehat{CGD}=180^{\circ}-\widehat{CEA}-\widehat{DFA}=\widehat{CAD}=\widehat{BCD}+\widehat{BDC}=180^{\circ}-\widehat{CBD}$
$\Rightarrow \widehat{CGD}+\widehat{CBD}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tứ giác BCGD nội tiếp
b) Ta có $\widehat{ADC}=\widehat{CDG}, \widehat{ACD}=\widehat{GCD}$
$\Rightarrow \Delta ACD=\Delta GCD$ (g_c_g)
$\Rightarrow$ AC=GC,AD=GD
$\Rightarrow$ CD là đường trung trực của AG
CD//EF $\Rightarrow$ AG vuông góc EF (1)
AB cắt CD tại I
C/m được I là trung điểm CD
Theo Ta-let, ta có:
$\frac{ID}{KA}=\frac{IB}{BA}=\frac{CI}{AH}$
$\Rightarrow$ A là trung điểm HK (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ tam giác AHK cân
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 26-06-2012 - 04:05
- perfectstrong, thukilop, Mai Duc Khai và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 26-06-2012 - 10:08
Chú ý là : $ 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
Và ta có đẳng thức rất đẹp như sau:
$ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$ với mọi $ n$ nguyên dương
Từ đây ; kết hợp với nguyên lý quy nạp toán học ; ta có điều phải chứng minh .
Đây chỉ là ý tưởng của anh thôi ; bạn nào làm chi tiết ra hộ anh nhé
- hoa_giot_tuyet, L Lawliet, Mai Duc Khai và 5 người khác yêu thích
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#6
Đã gửi 26-06-2012 - 19:49
Em xin chứng minh đẳng thức của anh nhéBài xây dựng bộ $2013$ số có thể thay $2013$ bởi bất kỳ số nguyên dương $ n \ge 3$ nào:
Chú ý là : $ 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
Và ta có đẳng thức rất đẹp như sau:
$ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$ với mọi $ n$ nguyên dương
Từ đây ; kết hợp với nguyên lý quy nạp toán học ; ta có điều phải chứng minh .
Đây chỉ là ý tưởng của anh thôi ; bạn nào làm chi tiết ra hộ anh nhé
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}$$
Đẳng thức của anh dễ dàng chứng minh được nhờ vào tổng sai phân (em đọc trong sách của anh Cẩn thấy gọi là vậy) và còn 1 số tổng khác cũng có ứng dụng nhiều nữa nhưng nêu ở đây không hợp nên em không nêu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 26-06-2012 - 19:51
- CelEstE và Galaxy Pascal thích
Thích ngủ.
#7
Đã gửi 02-07-2012 - 22:25
ĐK: x < y < z => (7,7,21) không thỏa đề bài....PT đã cho chỉ có nghiệm nguyên dương duy nhất thôi4) $x< y< z\Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{y}> \frac{1}{z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow 3< \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 9$
$\Rightarrow x=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7 \end{Bmatrix}$
x=1;3 loại $\Rightarrow x=5;7$
x=5 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}$$\Rightarrow y< 15$
$y=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7;9;11;13 \end{Bmatrix}$
Thế lại thấy y=9$\Rightarrow$ z=45 (thỏa)
x=7 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{21}$
Giải tương tự được y=7,z=21
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm nguyên dương lẻ (x;y;z)=(5;9;45),(7;7;21)
--------------
- Supermath98 yêu thích
-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-
#8
Đã gửi 03-07-2012 - 09:00
$\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}\geq \frac{2xy+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}\geq \frac{4y}{xy^{2}(2-xy)}=\frac{4}{xy(2-xy)}$
Ta có $(xy-1)^{2}\geq 0 nên 1\geq xy(2-xy)$
Từ đó suy ra $T\geq 4$.
Vậy $min T = 4$ khi $x=y=1$
- StupidB0y và chardhdmovies thích
- tkvn 97-
#9
Đã gửi 04-07-2012 - 09:44
Bạn nói rõ giúp mình đoạn $\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}\geq \frac{2xy+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}\geq \frac{4y}{xy^{2}(2-xy)}$ Đc k tkCâu 5b
$\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}\geq \frac{2xy+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}\geq \frac{4y}{xy^{2}(2-xy)}=\frac{4}{xy(2-xy)}$
Ta có $(xy-1)^{2}\geq 0 nên 1\geq xy(2-xy)$
Từ đó suy ra $T\geq 4$.
Vậy $min T = 4$ khi $x=y=1$
#10
Đã gửi 04-07-2012 - 10:01
Ta có : $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2xy$Bạn nói rõ giúp mình đoạn $\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}\geq \frac{2xy+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}\geq \frac{4y}{xy^{2}(2-xy)}$ Đc k tk
$\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}= \frac{(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}\geq \frac{2xy+2y^{2}}{xy^{2}(2-xy)}= \frac{2y(x+y)}{xy^{2}(2-xy}= \frac{4y}{xy^{2}(2-xy)}$
- StupidB0y yêu thích
#11
Đã gửi 06-07-2012 - 16:53
Ta xét các số $2.3;3.4,....,44.45,2013,45.46,46.47,....,2012.2013$
Thoã mãn
Và $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2012 .2013}+\frac{1}{2013}=1$b) Chứng minh tồn tại $2013$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,.....,a_{2013}$ sao cho:
$a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2013}}=1$
Vậy tồn tại 2013 bộ số $a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2013}}=1$
- Mai Duc Khai, ninhxa, ToanHocLaNiemVui và 2 người khác yêu thích
#12
Đã gửi 26-03-2013 - 12:42
Nói rõ cho em cái chỗ 3<\frac{3}{x} $3<\frac{3}{x}<=> x<1 <=>\frac{1}{3}<\frac{3}{x}<=>x<9.$x=\left \{ 1;3;5;7 \right \}$ Em không hiểu sao x<1 rồi lại có X<9 rồi suy ra như vậy! giải thích dùm em!
4) $x< y< z\Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{y}> \frac{1}{z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow 3< \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 9$
$\Rightarrow x=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7 \end{Bmatrix}$
x=1;3 loại $\Rightarrow x=5;7$
x=5 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}$$\Rightarrow y< 15$
$y=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7;9;11;13 \end{Bmatrix}$
Thế lại thấy y=9$\Rightarrow$ z=45 (thỏa)
x=7 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{21}$
Giải tương tự được y=7,z=21
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm nguyên dương lẻ (x;y;z)=(5;9;45),(7;7;21)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyena1: 26-03-2013 - 12:48
#13
Đã gửi 19-05-2013 - 23:07
Thực chất cái bài 4b chỉ cần chỉ ra 1 bộ số là đủ điểm.
Ta xét các số $2.3;3.4,....,44.45,2013,45.46,46.47,....,2012.2013$
Thoã mãn
Và $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2012 .2013}+\frac{1}{2013}=1$
Vậy tồn tại 2013 bộ số $a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2013}}=1$
mình vẫn chưa hiểu lắm
#14
Đã gửi 19-05-2013 - 23:10
Nói rõ cho em cái chỗ 3<\frac{3}{x} $3<\frac{3}{x}<=> x<1 <=>\frac{1}{3}<\frac{3}{x}<=>x<9.$x=\left \{ 1;3;5;7 \right \}$ Em không hiểu sao x<1 rồi lại có X<9 rồi suy ra như vậy! giải thích dùm em!
4) $x< y< z\Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{y}> \frac{1}{z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{3}{x}$
$\Leftrightarrow 3< \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < \frac{3}{x}\Leftrightarrow x< 9$
$\Rightarrow x=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7 \end{Bmatrix}$
x=1;3 loại $\Rightarrow x=5;7$
x=5 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{15}$$\Rightarrow y< 15$
$y=\begin{Bmatrix} 1;3;5;7;9;11;13 \end{Bmatrix}$
Thế lại thấy y=9$\Rightarrow$ z=45 (thỏa)
x=7 thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{21}$
Giải tương tự được y=7,z=21
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm nguyên dương lẻ (x;y;z)=(5;9;45),(7;7;21)
ko cần mấy bước sau đâu bạn! $3<\frac{3}{x}$ => nhân cả 2 vế vs 3 là ra X<9 mà!! :-P
3x
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bodoik92: 19-05-2013 - 23:16
#15
Đã gửi 20-05-2013 - 05:52
ko cần mấy bước sau đâu bạn! $3<\frac{3}{x}$ => nhân cả 2 vế vs 3 là ra X<9 mà!! :-P
3x
Bạn làm mình cái! Nhân 2 vế với 3 thì sao mà được thế! Nó ra x<1
#16
Đã gửi 20-05-2013 - 06:23
Bài 1 (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=x+y+8 & \\ x(x-1)y(y-1)=12 & \end{matrix}\right.$
Bài 2 (2 điểm)
Cho các số thực $u,v$ sao cho:
$(u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2$
Chứng minh rằng: $u^3+v^3+3uv=1$
Bài 1 :
HPT đã cho $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2-2b-a-8=0 (1) & & \\ b^2-ab+b-12=0(2) & & \end{matrix}\right.$ $a=x+y ; b=xy$
$0=$ $2.(1)-(2)$ $= (2a-b-4)(a+b+1)$
Bài 2 :
$(u+\sqrt{u^2+2})(\sqrt{u^2+2}-u)=u^2+2-u^2 =2$
Mà theo giả thiết : $(u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3}) =2$
$\Rightarrow v-1+\sqrt{v^2-2v+3}=\sqrt{u^2+2}-u$ $(1)$ $OK \Leftrightarrow LIKE$
Tương tự : $\sqrt{v^2-2v+3}-v+1=u+\sqrt{u^2+2}$ $(2)$
$(1)$$-$$(2)$ vế theo vế : $u+v=1$
Ta có $u^3+v^3+3uv=(u+v)(u^2-uv+v^2)+3uv$
$=u^2-uv+v^2+3uv$ ( vì $u+v=1$ )
$=(u+v)^2$ $=1$ (vì $u+v=1$ )
Vậy $u^3+v^3+3uv=1 $ (đpcm)
- Tienanh tx, thinhrost1 và nguyentrantien9x thích
Tác giả :
Lương Đức Nghĩa
#17
Đã gửi 09-06-2014 - 23:29
Thực chất cái bài 4b chỉ cần chỉ ra 1 bộ số là đủ điểm.
Ta xét các số $2.3;3.4,....,44.45,2013,45.46,46.47,....,2012.2013$
Thoã mãn
Và $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2012 .2013}+\frac{1}{2013}=1$
Vậy tồn tại 2013 bộ số $a_1<a_2<a_3<...<a_{2013}$ và $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2013}}=1$
Nếu $a_1<a_2<...<a_{2013} như bạn thì a_{2013}=2013 thì đâu thoả điều kiện đề là a_{2013} max
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hydanggia28: 09-06-2014 - 23:31
#18
Đã gửi 13-06-2014 - 17:27
Nếu $a_1<a_2<...<a_{2013} như bạn thì a_{2013}=2013 thì đâu thoả điều kiện đề là a_{2013} max
Bạn hiểu sai ý của bạn Dung Dang Do rồi. Thực tế 2013 không phải là $a_{2013}$ mà nó chỉ là một phần tử thuộc dãy. Còn $a_{2013}$ là 2012.2013 cơ mà.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Math forever: 13-06-2014 - 17:27
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh