Chủ đề này có 13 trả lời

[datkjlop9a2hVvMF]

1/Giải phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=1+xy^{2}\\4x^{4}+y^{4}=4x+y\end{matrix}\right.$

2/Cmr:$\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{(2n+1)^{2}}<\frac{1}{4}$ với n $\in$ N,n$\geq$1

3/1/a/Cho a,b,c$; 0$.Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} $<$ 1$ thì $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$ nếu $\frac{a}{b}> 1$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$.

4/Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi.Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

5/Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x+y+x^{2}+y^{2}=8\\ xy(x+1)(y+1)=12\end{matrix}\right.$

6/cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

7/Cmr:$\frac{n}{n+1}< 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}< 2$

8/Tìm các giá trị của a để hpt sau có nghiệm duy nhất:$\left\{\begin{matrix}xy+x^{2}=a(y-1)\\xy+y^{2}=a(x-1)\end{matrix}\right.$

9/Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}-xy(x+y)=3\\ x^{3}+y^{3}+xy(x+y)=15\end{matrix}\right.$

10/Giải phương trình:$\frac{x^{4}+4}{x^{2}-2}=5x$

11/a;Cmr:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với x,y$>$0
b;Cmr:$\frac{1}{4a^{2}+4b^{2}}+\frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{(a+b)^{2}}$ với a,b$>$0
c;Cmr:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}$ với a,b,c$>$0
d;cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.Cmr:$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Dấu bằng xảy ra khi nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datkjlop9a2hVvMF: 27-06-2012 - 20:29

[minhdat881439]

Bài 1 đã có ở đây: http://diendantoanho...showtopic=74832

[Crystal]

Bài 5: tương tự: http://diendantoanho...showtopic=75304

[C a c t u s]

5/Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x+y+x^{2}+y^{2}=8\\ xy(x+1)(y+1)=12\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x+y+x^{2}+y^{2}=8(1)\\ xy(x+1)(y+1)=12(2)\end{matrix}\right.$
Từ phương trình (1) ta có:
$x+y+x^2+y^2 = (x^2+x)+(y^2+y)=x(x+1)+y(y+1)$
Đặt $t=x(x+1); v=y(y+1)$
Do đó, hệ phương trình trở thành
$\left\{\begin{matrix}t+v=8\\tv=12\end{matrix}\right.$
$\rightarrow \left\{\begin{matrix} t=2 \\v=6\end{matrix}\right.$
hay $\rightarrow \left\{\begin{matrix} t=6 \\v=2\end{matrix}\right.$
Từ đây ta tìm được $x,y$
Nói tóm lại, hệ của phương trình đã cho là: $(x,y)=(1;-2);(-2;1);(2;-3);(-3;2)$
P.s: Chưa gửi xong đã có người gửi rồi, chán quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 26-06-2012 - 11:38

[Tru09]

11/a;Cmr:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với x,y$>$0
b;Cmr:$\frac{1}{4a^{2}+4b^{2}}+\frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{(a+b)^{2}}$ với a,b$>$0
c;Cmr:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}$ với a,b,c$>$0
d;cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.Cmr:$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Dấu bằng xảy ra khi nào

a, quá dễ ( dấu "=" khi x=y)(1)
b,Dùng (1),rồi triệt tiêu 4 =)(dấu "=" khi a=b)
c,Cả 2 vế nhân 4 rồi dùng (1), ( tương tự)( dấu "=" khi a=b=c)
Như sau :
$4(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})\geq 2(\frac{4}{a+b} +\frac{4}{b+c} +\frac{4}{c+a}) \geq \frac{16}{2a+b+c} +\frac{16}{2b+a+c} +\frac{16}{2c+a+b}$
$\rightarrow 4LHS \leq 4RHS \rightarrow LHS \leq RHS$
d,Cả 2 vế nhân 2 ròi dùng (1),( tương tự)(dấu "=" khi tam giác có 3 cạnh đó là tam giác đều )
Như sau:
$\frac{2}{a+b-c}+\frac{2}{a-b+c}+\frac{2}{-a+b+c}\geq \frac{2}{a} +\frac{2}{b} +\frac{2}{c}$
$\rightarrow DPCM$

6/cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

Cách khác :
$\sqrt{(a+b-c)(a-b+c)} \leq a$
$\sqrt{(a+b-c)(-a+b+c)} \leq b$
$\sqrt{(a-b+c)(a-b+c)} \leq c$
Nhân từng vế$ \rightarrow DPCM$
(p.s bạn tô màu là làm rồi hay chưa làm thế :|)

7/Cmr:$\frac{n}{n+1}< 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}< 2$

Dễ thấy
a,
$\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1).n} <1-\frac{1}{n} \leq 1$
$\rightarrow A < 2$
b, CMTT với$ 2^2 <2.3 ,3^2<3.4 ,vvv$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 26-06-2012 - 14:05

[nthoangcute]

6/cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

Ta thấy:
$(a+b-c)(b+c-a)=b^2-(a-c)^2 \leq b^2$
CMTT suy ra $(a+b-c)^2(a-b+c)^2(-a+b+c)^2 \leq a^2b^2c^2$
Mà $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)>0$ và $abc>0$
Suy ra $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

[hoangtrong2305]

8/Tìm các giá trị của a để hpt sau có nghiệm duy nhất:$\left\{\begin{matrix}xy+x^{2}=a(y-1)\\xy+y^{2}=a(x-1)\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}xy+x^{2}=a(y-1)\\xy+y^{2}=a(x-1)(*)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=a(y-1)-(x-1)$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)+a(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+a)=0$

$\left\{\begin{matrix} x=y\\ x=-a-y \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $x=-a-y$

Thay vào $(*)$:

$(-a-y)y+y^{2}=a(-a-y-1)$

$\Leftrightarrow -ay=-a^{2}-ay-a$

$\Leftrightarrow a^{2}+a=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=-1 \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 26-06-2012 - 11:58

[donghaidhtt]

$\left\{\begin{matrix} x=y\\ x=-a-y \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $x=-a-y$

Thay vào $(*)$:

$(-a-y)y+y^{2}=a(-a-y-1)$

$\Leftrightarrow -ay=-a^{2}-ay-a$

$\Leftrightarrow a^{2}+a=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=-1 \end{bmatrix}$

Em nghĩ phần này không ổn vì:
Như bài làm của anh thì khi $\begin{bmatrix} a=0\\ a=-1 \end{bmatrix}$ thì hệ có nghiệm duy nhất nhưng không phải vậy.
+$a=0$ thay vào hệ có $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy=0\\ y^{2}+xy=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x=-y \end{bmatrix}$
Với x=y thì hệ được 1 nghiệm x=y=0
Nhưng với x=-y thì hệ có vô số nghiệm với$\left\{\begin{matrix} y=-x\\ x\in R \end{matrix}\right.$
+$a=-1$ tương tự hệ có nghiệm x=y=0 và vô số nghiệm $\left\{\begin{matrix} x\in R\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

8/Tìm các giá trị của a để hpt sau có nghiệm duy nhất:$\left\{\begin{matrix}xy+x^{2}=a(y-1)(1)\\xy+y^{2}=a(x-1)(2)\end{matrix}\right.$

Theo em thì ta làm thế này: $\left\{\begin{matrix}xy+x^{2}=a(y-1)\\xy+y^{2}=a(x-1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ y=-x-a \end{bmatrix}$
Xét trường hợp $y=-x-a$ thay vào $(2)$ ta có $a^{2}+a=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=-1 \end{bmatrix}$
nên với $\begin{bmatrix} a=0\\ a=-1 \end{bmatrix}$ thì hệ có vô số nghiệm.
Với $\begin{bmatrix} a\neq 0\\ a\neq -1 \end{bmatrix}$ thì không có nghiệm x,y.
nên ta loại bỏ trường hợp $y=-x-a$
Xét trường hợp $x=y$ thay vào $(1)$ ta có $2x^{2}-ax+a=0$
Để hệ có nghiệm duy nhất thì x chỉ có giá trị duy nhất trong phương trình bậc hai này, hay $\Delta =0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=8 \end{bmatrix}$
Mà với $a\neq 0$ nên chỉ có $a=8$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(2;2)$ khi và chỉ khi $a=8$

9/Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}-xy(x+y)=3(1)\\ x^{3}+y^{3}+xy(x+y)=15(2)\end{matrix}\right.$

$(1)-(2): xy(x+y)=6$
Đặt $x+y=S;xy=P$$\Rightarrow SP=6$
$(1)\Leftrightarrow S^{3}-3PS-PS=3\Leftrightarrow S=3\Rightarrow P=2$
$\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ xy=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2\wedge y=1\\ x=1\wedge y=2 \end{bmatrix}$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (2;1);(1;2) \end{Bmatrix}$

10/Giải phương trình:$\frac{x^{4}+4}{x^{2}-2}=5x(1)$

Điều kiện $x\neq \pm \sqrt{2}$
$(1)\Leftrightarrow x^{4}+4=5x^{3}-10x\Leftrightarrow (x+1)(x-2)(x^{2}-4x-2)$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1\\ x=2\\ x=2+\sqrt{6}\\ x=2-\sqrt{6} \end{bmatrix}$
Vậy pt có nghiệm $x\in \begin{Bmatrix} -1;2;2+\sqrt{6};2-\sqrt{6} \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 26-06-2012 - 19:42

[minhtuyb]

2/Cmr:$\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{(2n+1)^{2}}<\frac{1}{4}$ với n $\in$ N,n$\geq$1

3/1/a/Cho a,b,c$; 0$.Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} $<$ 1$ thì $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$ nếu $\frac{a}{b}> 1$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$.

2/ Tổng quát với $k\in N^*$:
$$\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{1}{4k^2+4k+1}<\frac{1}{4k(k+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$$
Cho $k$ chạy nữa là xong!

3/ Một tính chất rất cơ bản của phân số, chỉ việc nhân chéo thôi

[Mai Duc Khai]

4.Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi.Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Còn mỗi bài này là chưa có lời giải chắc là dễ nhất
Lời giải : Trình bày chi tiết nha

Gọi chiều rộng của mảnh đất là $x (x>0)$ thì chiều dài là $x+6$
Ta có:
+ Bình phương đường chéo là: $x^2+(x+6)^2=2x^2+12x+36$
+ 5 lần chu vi hình chữ nhật là: $5.2(x+x+6)=20x+60$
Theo bài ra ta có: $2x^2+12x+36=20x+60 \Leftrightarrow 2x^2-8x-24=0 (1)$
$(1)$ có nghiệm $x=6$ thỏa mãn suy chiều dài là 12

Kết luận : Chiều dài: 12m và chiều rộng 6m

[datkjlop9a2hVvMF]

thế là hết ai post thêm bài đi.Mai mình thi rồi

[yeutoan11]

MOD : Lần sau chia các bài ra cho phù hợp với các box của diễn đàn , post 1 lần như thế này nhầm lung tung , có Box: PT, BĐT , Đại số, bạn cho cả vào đại sô rồi , lần sau chia đều ra
____________
Lần sau chú đừng trích lại toàn bộ bài viết dài nhé. Nhìn khá mất mĩ quan. Anh nhắc nhở chú 2 lần rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 01-07-2012 - 12:12

[vuhoanghai98]

Mấy bài này rễ quá lần sau khi gửi bài nhớ đọc kĩ

[Mai Duc Khai]

Mấy bài này rễ quá lần sau khi gửi bài nhớ đọc kĩ

MỚi 98 mà spam quá chú em Hãy "cố gắng" tự làm hết các bài trên bằng chính thực lực của mình nha ! Thử xem có được ko

p/s: Spam đúng cách