Chủ đề này có 2 trả lời

[ptk1995]

Bài tập về giới hạn qua các kì thi HSG. Các bạn có phương pháp giải cụ thể cho những dạng này thì share mình nhá !
Bài 1:
Giả sử hai dãy số $\left \{x_n \right \} , \left \{ y_n \right \}$ có lim$x_n=a$ và lim $y_n=b$. Xét dãy số Zn được cho bởi công thức sau :
$z_n=\frac{x_1y_n+x_{2n-1}+...+x_ny_1}{n}$
Hãy tính lim$z_n$

Bài 2: Cmr: không tồn tại giới hạn lim(sin n) n là số tự nhiên ( n tiến tới dương vô cực)

Bài 3: Giả sử hàm số f(x) là hàm số tăng trên toàn bộ tập số thực thỏa điều kiện : $\lim_{t \to +\infty }\frac{f(2t)}{f(t)}=1$
Cmr: với mọi c<0, ta có $\lim_{t \to +\infty }\frac{f(ct)}{f(t)}=1$

[Sagittarius912]

Bài tập về giới hạn qua các kì thi HSG. Các bạn có phương pháp giải cụ thể cho những dạng này thì share mình nhá !


Bài 2: Cmr: không tồn tại giới hạn lim(sin n) n là số tự nhiên ( n tiến tới dương vô cực)

Giả sử giới hạn dãy số $(a_{n})$ tồn tại. khi đó

$0=\lim_{n\rightarrow \infty}[\sin (n+1)-\sin n]=2\sin1 \lim_{n\rightarrow \infty} \cos(n+1)$

$\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty}\cos n=0$ (1)

$\Rightarrow 0=\lim_{n\rightarrow \infty}[\cos(n+2)-\cos n]=-2 \sin 1 \lim_{n\rightarrow \infty} \sin(n+1)$

$\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty} \sin n=0$ (2)

Từ (1)(2) suy ra

$1=\lim_{n\rightarrow \infty}(\sin^{2}n+\cos^{2}n)=\lim_{n\rightarrow \infty} \sin^{2}n+ \lim_{n\rightarrow \infty} \cos^{2}n=0$ ( vô lí)

Vậy giới hạn của $(\sin n)$ không tồn tại

[phanquockhanh]

Bài 1....

Xét 2 dãy $(\alpha _{n}):\alpha _{n}=x_{n}-a;(\beta _{n}):y_{n}-b,n\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}\alpha _{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\beta=0$.Khi đó:
$z_{n}=ab+a\frac{\sum_{i=1}^{n}\beta _{i}}{n}+b\frac{\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}}{n}+\frac{\alpha _{1}\beta _{n}+\alpha _{2}\beta _{n-1}+...+\alpha _{n}\beta _{1}}{n}$
Xét 3 dãy số:$u_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\beta _{i}}{n};v_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}}{n};w_{n}=\frac{\alpha _{1}\beta _{n}+\alpha _{2}\beta _{n-1}+...+\alpha _{n}\beta _{1}}{n}$
Khi đó:$z_{n}=ab+au_{n}+bv_{n}+w_{n}$.Do $\lim_{n\rightarrow +\infty}\beta=0$ nên với mọi $n> n_{0}$ ta có:$\left| u_{n}\right |=\frac{\beta _{1}+..+\beta _{n_{0}}+...+\beta _{n}}{n}\leq \left | \frac{\beta _{1}+\beta _{2}+...+\beta _{n_{0}}}{n} \right |+\left | \beta _{n_{0}+1} \div n\right |+...+\left | \frac{\beta _{n}}{n} \right |$
$\Rightarrow u_{n}< \left | \frac{\sum_{i=1}^{n_{0}}}{n} \right |+\varepsilon \frac{n-n_{0}}{n}< \left | \frac{\sum_{i=1}^{n_{0}}}{n}\right |+\varepsilon \Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Tương tự $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=0$
Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty } z_{n}=ab$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 16-02-2013 - 23:38