$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}\sqrt{bc} + b^{2}\sqrt{ac}+ c^{2}\sqrt{ab}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 01-07-2012 - 09:30
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}\sqrt{bc} + b^{2}\sqrt{ac}+ c^{2}\sqrt{ab}$
Bắt đầu bởi Albert einstein vip, 01-07-2012 - 09:24
#1
Đã gửi 01-07-2012 - 09:24
Albert einstein vip
-
- Thành viên
-
- 118 Bài viết
Trung sĩ
Cho $a,b,c$ là các số dương, chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}\sqrt{bc} + b^{2}\sqrt{ac}+ c^{2}\sqrt{ab}$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}\sqrt{bc} + b^{2}\sqrt{ac}+ c^{2}\sqrt{ab}$
Làm chủ tư duy thay đổi vận mệnh
#2
Đã gửi 01-07-2012 - 09:33
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}\sqrt{bc} + b^{2}\sqrt{ac}+ c^{2}\sqrt{ab}$
Đặt $\sqrt{a}=x, ...b=y,...c=z$
$BDT \leftrightarrow x^6+y^6+z^6\geq xyz(x^3+y^3+z^3)$
AM-GM ta có $x^6+x^6+x^6+x^6+y^6+z^6\geq 6x^4yz$
Tương tự cộng vào ra đpcm
Dấu $=$ khi $x=y=z \leftrightarrow a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-07-2012 - 09:35
- daovuquang và Tru09 thích
#3
Đã gửi 01-07-2012 - 11:36
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Cách khác nhá :
Ta có : $(x+y)(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}$
Áp dụng BĐT này vs a,b,c rồi cộng lại ta đc :
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)\geq 2a^{2}\sqrt{bc}+2b^{2}\sqrt{ca}+2c^{2}\sqrt{ab}$
Chia 2 vế cho 2 là ngon.
Ta có : $(x+y)(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}$
Áp dụng BĐT này vs a,b,c rồi cộng lại ta đc :
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)\geq 2a^{2}\sqrt{bc}+2b^{2}\sqrt{ca}+2c^{2}\sqrt{ab}$
Chia 2 vế cho 2 là ngon.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 01-07-2012 - 11:38
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
