Chủ đề này có 2 trả lời

[tkvn97]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $y^{2}+z^{2}+yz=1-\frac{3}{2}x^{2}$ . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $P = x+y+z$

[WhjteShadow]

Do $yz\leq y^2+z^2\to 4(y^2+z^2+yz)\geq 3(y^2+z^2+2yz)\to y^2+z^2+yz\geq \frac{3}{4}(y+z)^2$
$\to$ Ta có $1=y^2+z^2+yz+\frac{3}{2}x^2\geq \frac{3}{4}[(y+z)^2+2x^2)=\frac{3}{4}[(y+z)^2+\frac{x^2}{\frac{1}{2}})$
Mà áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ có:
$(y+z)^2+\frac{x^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{3}{2}}$
Hay $(y+z)^2+\frac{x^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2$
Nên $1\geq \frac{3}{4}.\frac{2}{3}(x+y+z)^2$
$\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{2}.(x+y+z)^2$
Vậy $-\sqrt2\leq x+y+z\leq \sqrt2$
Dấu bằng xảy ra khi
$\left\{\begin{matrix}
(y+z)^2=4x^2\\
x+y+z=1;-1
\end{matrix}\right.$
Giải hệ đó là ra o:)

[Secrets In Inequalities VP]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $y^{2}+z^{2}+yz=1-\frac{3}{2}x^{2}$ . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $P = x+y+z$

GT $\Leftrightarrow 2=3x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2yz= x^{2}+(x^{2}+y^{2})+(x^{2}+z^{2})+y^{2}+z^{2}+2yz$
$\Rightarrow 2\geq x^{2}+2xy+2xz+y^{2}+z^{2}+2yz= (x+y+z)^{2}$
$\Rightarrow -\sqrt{2}\leq x+y+z\leq \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 02-07-2012 - 10:31