Chủ đề này có 2 trả lời

[beontop97]

1. Cho a,b,c là các số không âm a,b,x,y biết $a^{10}+b^{10}\leq 1$ và $x^{10}+y^{10}\leq 1$. Chứng minh : $a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$
2. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$
3.cho P = $2x+\sqrt{1-4x-x^{2}}$. Tìm max P
4. Cho : $1\leq a\leq 2; 1\leq b\leq 2$. Tìm max, min của $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{3}+b^{3}}$

[Secrets In Inequalities VP]

2. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

Ta có : $VT= \frac{a^{4}}{ab}+\frac{b^{4}}{bc}+\frac{c^{4}}{ca}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$= \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ac+ba+cb)}$
$\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$ (Cauchy-schwarz )
Đ.P/C.M

1. Cho a,b,c là các số không âm a,b,x,y biết $a^{10}+b^{10}\leq 1$ và $x^{10}+y^{10}\leq 1$. Chứng minh : $a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$

AM-GM
$x^{10}+x^{10}+x^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}+a^{10}\geq 10a^{7}x^{3}$
$y^{10}+y^{10}+y^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}+b^{10}\geq 10b^{7}y^{3}$
$\Rightarrow 10(a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3})\leq 3(x^{10}+y^{10})+7(a^{10}+b^{10})\leq 10\Rightarrow a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 02-07-2012 - 12:08

[minh29995]

1. Cho a,b,c là các số không âm a,b,x,y biết $a^{10}+b^{10}\leq 1$ và $x^{10}+y^{10}\leq 1$. Chứng minh : $a^{7}x^{3}+b^{7}y^{3}\leq 1$
2. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$
3.cho P = $2x+\sqrt{1-4x-x^{2}}$. Tìm max P
4. Cho : $1\leq a\leq 2; 1\leq b\leq 2$. Tìm max, min của $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{3}+b^{3}}$

Câu 3:
ĐK: $-2-\sqrt{5}\leq x \leq -2+\sqrt{5}$
Ta có:
$P=2x+\sqrt{1-4x-x^2}=2(x+2)+\sqrt{1-4x-x^2}-4$
Áp dụng C-S ta có:
$P\leq \sqrt{(2^2+1)(5)}-4=1$
Dấu bằng xảy ra khi x=0
Câu 4:
Đặt:
$A=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}=\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$A=\frac{a+b}{a^2+b^2-ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq 2$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

**Tìm MIN
Ta chứng minh $A\geq 1$
Thật vậy, BĐT tương đương với:
$a+b\geq a^2+b^2-ab$
Theo đk đầu bài thì:
$(a-1)(a-2)\leq 0 \Leftrightarrow a^2+2\leq 3a$
Tương tự $b^2+2\leq 3b$
Và:
$(a-2)(2-b)\leq 0\Leftrightarrow -ab\leq 4-2a-2b$
Cộng vế các BĐT lại ta có ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=1. b=2 hoặc a=2, b=1 hoặc a=b=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 02-07-2012 - 12:31