Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $A= (7+4\sqrt{3})^{n}+(7-4\sqrt{3})^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vuhoanghai98

vuhoanghai98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
CMR :
A= (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13

#2
Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết

CMR :
A= (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13

Đặt: Sn = (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$
Ta có: 7+4$\sqrt{3}$ và 7-4$\sqrt{3}$ là 2 nghiệm của PT:
X2- 14X + 1 = 0.
Do đó: Sn = 14Sn-1 - Sn-2 với n > 1 và S0 = 2; S1 = 14.
Bằng pp c/m quy nạp ta có: $S_{n}~\epsilon ~N,~\forall n~\epsilon ~N.$
Dễ thấy: $S_{n}\equiv S_{n-1}-S_{n-2}~(mod ~13)~\forall n>1;(S_{0};S_{1})\equiv (2;1)~(mod ~13)$
Bằng pp c/m quy nạp ta c/m được:
$(S_{6m};S_{6m+1};S_{6m+2};S_{6m+3};S_{6m+4};S_{6m+5})\equiv (2;1;-1;-2;-1;1)~(mod ~13)\forall m~\epsilon ~N$
Vậy Sn không chia hết cho 13 với mọi n.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh