CMR :
A= (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13
Chứng minh rằng: $A= (7+4\sqrt{3})^{n}+(7-4\sqrt{3})^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13
Bắt đầu bởi vuhoanghai98, 03-07-2012 - 11:02
#1
Đã gửi 03-07-2012 - 11:02
#2
Đã gửi 03-07-2012 - 12:44
Đặt: Sn = (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$CMR :
A= (7+4$\sqrt{3}$)$^{n}$+($7-4\sqrt{3}$)$^{n}$ là số nguyên không chia hết cho 13
Ta có: 7+4$\sqrt{3}$ và 7-4$\sqrt{3}$ là 2 nghiệm của PT:
X2- 14X + 1 = 0.
Do đó: Sn = 14Sn-1 - Sn-2 với n > 1 và S0 = 2; S1 = 14.
Bằng pp c/m quy nạp ta có: $S_{n}~\epsilon ~N,~\forall n~\epsilon ~N.$
Dễ thấy: $S_{n}\equiv S_{n-1}-S_{n-2}~(mod ~13)~\forall n>1;(S_{0};S_{1})\equiv (2;1)~(mod ~13)$
Bằng pp c/m quy nạp ta c/m được:
$(S_{6m};S_{6m+1};S_{6m+2};S_{6m+3};S_{6m+4};S_{6m+5})\equiv (2;1;-1;-2;-1;1)~(mod ~13)\forall m~\epsilon ~N$
Vậy Sn không chia hết cho 13 với mọi n.
- perfectstrong và triethuynhmath thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh