Topic này để cập nhật đề thi, mọi người tham gia giải và bình luận đề.
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CN=2ND$. Giả sử $M\left ( \frac{11}{2};\frac{1}{2} \right )$ và đường thẳng $AN$ có phương trình $2x-y-3=0$. tìm tọa độ điểm $A$
chật vật mới làm được câu 7.a:
đặt $AB=a $ thì $ CN=\frac{2a}{3}; ND=\frac{a}{3} $
tam giác AND vuông tại D nên $ AN=\sqrt{AD^2+ND^2}=\frac{a\sqrt{10}}{3} $
gọi H là hình chiếu của M trên AN, thì $ MH =\frac{3\sqrt{5}}{2} $
tam giác AMB vuông tại B nên $ AM^2=AB^2+MB^2=\frac{5a^2}{4} $
tam giác AMH vuông tại H nên $ AH=\sqrt{AM^2-MH^2}=\frac{\sqrt{5a^2-45}}{2} $
ta có $ MN^2=MC^2+NC^2=\frac{25a^2}{36} $
tam giác MHN vuông tại H nên $ HN=\sqrt{MN^2-MH^2}=\frac{\sqrt{25a^2-405}}{6} $
ta có $ HN+AH=AN $
$ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{25a^2-405}}{6}+\frac{\sqrt{5a^2-45}}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{3}$
$ \Leftrightarrow \sqrt{9a^2-81}+\sqrt{5a^2-81}=2a\sqrt{2} $
$ \Leftrightarrow \sqrt{9a^2-81}=2a\sqrt{2}-\sqrt{5a^2-81} $
bình phương 2 vế ta được:
$ 9a^2-81=8a^2-4a\sqrt{10a^2-162}+5a^2-81 $
$ \Leftrightarrow \4a^2=4a\sqrt{10a^2-162} $
$ \Leftrightarrow a=3\sqrt{2} $
$ \Rightarrow AM=\frac{3\sqrt{10}}{2} $
điểm A thuộc đường tròn tâm M, bán kính $\frac{3\sqrt{10}}{2} $ có phương trình $$\left\{\begin{matrix} (x-\frac{11}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{45}{2} & \\ 2x-y-3=0 & \end{matrix}\right.$$
mà A thuộc đường thẳng$ AN: 2x-y-3=0 $
nên tọa độ A là nghiệm của hệ:$\left\{\begin{matrix} (x-\frac{11}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{45}{2} & \\ 2x-y-3=0 & \end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}
(x-\frac{11}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{45}{2} & \\ 2x-y-3=0
&
\end{matrix}\right. $
từ PT(2) rút ra $ y=2x-3 $, thay vào PT(1) ta được:
$ (1) \Leftrightarrow x^2-11x+\frac{121}{4}+4x^2-14x+\frac{49}{4}=\frac{45}{2} $
$ \Leftrightarrow x=4 \vee x=1 $
vậy có 2 điểm A là A(4,5) và A(1;-1)