Chủ đề này có 6 trả lời

[beontop97]

Chứng minh :
a. $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )...\left ( n+n \right )\vdots 2^{n}$
b. $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$
c.$n^{12}-n^{8}-n^{4}+1 \vdots 512$ với n lẻ
d. số gồm $3^{n}$ chữ số 1 chia hết cho $3^{n}$
e. $\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a-d \right )\left ( b-c \right )\left ( b-d \right )\left ( c-d \right )\vdots 12$

[thedragonknight]

Chứng minh :
a. $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )...\left ( n+n \right )\vdots 2^{n}$
b. $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$
c.$n^{12}-n^{8}-n^{4}+1 \vdots 512$ với n lẻ
d. số gồm $3^{n}$ chữ số 1 chia hết cho $3^{n}$
e. $\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a-d \right )\left ( b-c \right )\left ( b-d \right )\left ( c-d \right )\vdots 12$

Làm câu a vậy
dùng quy nạp xem sao
Xét $n=1$ thấy đúng
Giả sử nó đúng với $n=k$
chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Ta có $(k+2)(k+3)(k+4)....(2k+2)=2(k+1).....(2k+1)\vdots 2.2^k=2^{k+1}$
bài toán đã đc chứng minh
câu d)http://diendantoanho...showtopic=75387

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 03-07-2012 - 21:03

[henry0905]

e. A$\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a-d \right )\left ( b-c \right )\left ( b-d \right )\left ( c-d \right )\vdots 12$

e) a,b,c,d là 4 số nguyên
Theo nguyên tắc Dirichlet thì có ít nhất 2 số đồng dư khi chia cho 3 nên A chia hết cho 3
Nếu có 2 số đồng dư chia cho 4 thì bài toán được c/m
Nếu không xảy ra điều đó thì số dư sẽ là 0;1;2;3 nên có 2 số chẵn 2 số lẻ.
$\Rightarrow$ tích của hiệu 2 số chẵn và hiệu 2 số lẻ chia hết cho 4
$\Rightarrow$ A chia hết cho 3 và 4 mà (3;4)=1 nên A chia hết cho 12

[Hoa Hồng Lắm Gai]

b. $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 1^{2n}-0- 1 \equiv 1-0-1 \equiv 0$ (mod 3)

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 16^{n}-9^n-7 \equiv 2^n-2^n-0 \equiv 0$ (mod 7)

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 16^{n}-9^n-7 \equiv 0-1^n-(-1) \equiv -1+1 \equiv 0$ (mod 8)

Như vậy: $4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 3;8;7 $. mà $(3,7,8)=1; 3.7.8=168$

Vậy $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$ (đpcm)

[Zaraki]

a) Cách khác:
$$\begin{aligned} (n+1)(n+2)...(2n) & = \dfrac{(2n)!}{n!}= \dfrac{ \left( 1.3.5...(2n-1) \right) \left( (2.4.6...(2n) \right)}{n!} \\ & = 1.3.5...(2n-1).2^n \end{aligned}$$
$L$: Toàn ơi, VMF không xài hệ như HM đâu sửa lại đi em =))~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 17-07-2012 - 16:19

[famas1stvn98]

Chiến câu c vậy
Đặt A=$n^{12}-n^8-n^4+1$
nhóm lại thành nhân tử $(n-1)^{2}*(n+1)^{2}*(n^2+1)^{2}*(n^4+1)$
Đặt n=2k+1 (k $\epsilon$ Z) thay vào ta có A=$(2k)^{2}*(2k+2)^{2}*((2k+1)^2+1)^{2}*((2k+1)^4+1)$
$\Rightarrow$ A=$128k^2*(k+1)^{2}*(2k^2+2k+1)^{2}*(8k^4+16k^3+12k^2+4k+1)$
Nếu k chắn $\Rightarrow$ $k^2$ $\vdots$ 4 <1>
Nếu k lẻ $\Rightarrow$ $(k+1)^{2}$ $\vdots$ 4 <2>
Từ <1> hoặc <2> thì ta đều có A $\vdots$ 512 (vì còn có nhân tử $128k^2$)
$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 17-07-2012 - 18:40

[defaw]

d. số gồm $3^{n}$ chữ số 1 chia hết cho $3^{n}$
Giải: Ta thấy bài toán đúng với $n=1,2$, ta chứng minh bằng quy nạp.
Giả sử bài toán đúng đến $n=k$ hay $A=\overline{111...1111}\vdots 3^k$($3^{k}$ chữ số 1).
Ta có $\overline{11111....1111}$($3^{k+1}$ chữ số 1)$=A \cdot (10^{2\cdot3^{k}}+10^{3^{k}}+1)\vdots 3^{k}\cdot 3= 3^{k+1}$.
Vậy bài toán được chứng minh.