Chủ đề này có 5 trả lời

[thien than cua gio]

CMR:$\left ( 6^{2n+1}+5^{n+2} \right )\vdots 31$ với mọi $n\epsilon N$

[triethuynhmath]

Ok,mình xin chém bài này(Giải bằng quy nạp toán học):
Xét n=0=>$6^{2n+1}+5^{n+2}=31$chia hết 31
Xét n=1 =>$6^{2n+1}+5_{n+2}$=341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n =k,tức là có $6^{2k+1}+5^{k+2}$,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
tức là chứng minh$6^{2k+3}+5^{k+3}$
Ta có $6^{2k+1}+5^{k+2}=36^{k}.6+5^k.25$ chia hết 31
$6^{2k+3}+5^{k+3}=36^{k}.216+5^k.125$
Xét hiệu : $6^{2k+3}+5^{k+3}-6^{2k+1}-5^{k+2}=36^k.216+5^k.125-36^k.6-5^k.25$
=$=36^k.210+5^k.100$=$36^k.207+5^k.93-7(36^k-5^k)$
Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31,$36^k-5^k$ chia hết 36-5=31
=> $6^{2k+3}+5^{k+3}-6^{2k+1}-5^{k+2}$ chia hết 31. Mà$6^{2k+1}+5^{k+2}$ chia hết 31 nên $6^{2k+3}+5^{k+3}$ chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 04-07-2012 - 19:57

[tranhydong]

Giải :
$6^{2n+1}+5^{n+2}=6.36^{n}+25.5^{n}=6.36^{n}-6.5^{n}+6.5^{n}+25.5^{n}=6(36^{n}-5^{n})+5^n.31$ chia hết cho 31 với mọi n thuộc tập tự nhiên
P/s : lâu quá mới giải bài trên VMF

[thedragonknight]

Ok,mình xin chém bài này(Giải bằng quy nạp toán học):
Xét n=1 =>$6^{2n+1}+5_{n+2}$=341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n =k,tức là có $6^{2k+1}+5^{k+2}$,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
tức là chứng minh$6^{2k+3}+5^{k+3}$
Ta có $6^{2k+1}+5^{k+2}=36^{k}.6+5^k.25$ chia hết 31
$6^{2k+3}+5^{k+3}=36^{k}.216+5^k.125$
Xét hiệu : $6^{2k+3}+5^{k+3}-6^{2k+1}-5^{k+2}=36^k.216+5^k.125-36^k.6-5^k.25$
=$=36^k.210+5^k.100$=$36^k.207+5^k.93-7(36^k-5^k)$
Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31,$36^k-5^k$ chia hết 36-5=31
=> $6^{2k+3}+5^{k+3}-6^{2k+1}-5^{k+2}$ chia hết 31. Mà$6^{2k+1}+5^{k+2}$ chia hết 31 nên $6^{2k+3}+5^{k+3}$ chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm

Mình có ý kiến như thế này.Cậu chưa xét đến trường hợp $n=0$

[triethuynhmath]

Mình có ý kiến như thế này.Cậu chưa xét đến trường hợp $n=0$

Ừ nhỉ,mình chưa đọc kĩ đề,thanks bạn vì đã góp ý,n chỉ là số tự nhiên

[Hoa Hồng Lắm Gai]

CMR:$( 6^{2n+1}+5^{n+2} )\vdots 31$ với mọi $n\epsilon N$

Chưa ai giải theo đồng dư nhỉ :">

$6^{2n+1}+5^{n+2} \equiv 36^{n}.6+5^{n}.25 \equiv 5^{n}.6+5^{n}.25 \equiv 5^{n}.(6+25) \equiv 5^{n}.31 \equiv 0$ (mod 31)

~~~> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoa Hồng Lắm Gai: 06-07-2012 - 14:29