Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+b+c=3.Tìm Min P= $\} a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lamtran

lamtran

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 14 Bài viết
Cho các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+b+c=3.Tìm Min P= $\a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamtran: 04-07-2012 - 17:50


#2
Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
Ta có a+b+c=3
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=\sum a^3+\sum a^2b+\sum ab^2$
Áp dụng AM--GM
$a^3+ab^2\geq 2a^2b$
$\Rightarrow \sum a^3+\sum a^2b+\sum ab^2\geq 3\sum a^2b$
$\Rightarrow \sum a^2b\leq a^2+b^2+c^2$
$\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$
Đặt $a^2+b^2+c^2=x$
Áp dụng AM-GM
$\Rightarrow P\geq x+\frac{9-x}{2x}\Rightarrow 2P\geq 2x+\frac{9-x}{x}=x+x+\frac{9}{x}-1\geq 3+6-1=8$ ($x\geq 3$)
$\Rightarrow P\geq 4$

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh