Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Trận chung kết MSS 2012 - Hiệp 3 - Phương trình


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 31 trả lời

#21 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 06-07-2012 - 21:07

Mở rộng 8: Tự tin, ta đến với mở rộng 8 như sau:

Giải hệ phương trình với $x_i (i = \overline {1,n})$ là ẩn, $a$ là tham số.
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x_1 \left( {x_2 ^2 + a^2 } \right) = x_2 \left( {x_2 ^2 + 9a^2 } \right) \\
2x_2 \left( {x_{\rm{3}} ^2 + a^2 } \right) = x_3 \left( {x_3 ^2 + 9a^2 } \right) \\
2x_3 \left( {x_4 ^2 + a^2 } \right) = x_4 \left( {x_3 ^2 + 9a^2 } \right) \\
........................................... \\
2x_n \left( {x_1 ^2 + a^2 } \right) = x_1 \left( {x_1 ^2 + 9a^2 } \right) \\
\end{array} \right.
\]
Lời giải:
Việc giải mở rộng 8 này cũng hoàn toàn tương tự như bài toán gốc và mở rộng 7. Ta cũng rút $x_1,x_2,..,x_n$ từ các phương trình của hệ, sau đó, không mất tính tổng quát ta giả sử $ x = max\left\{ {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right\}$, và lập hiệu $x_n-x_1$, hiệu đó khi được phân tích ra sẽ có nhân tử $x_1-x_2$, và ta chứng minh $x_1 \le x_2 \to x_1=x_2 \to x_1=x_2=…=x_n $. Việc làm còn lại là hết sức đơn giản, ta chỉ cần thế vào một trong các phương trình của hệ và giải, sẽ tìm ngay được nghiệm của hệ.

Như vậy, mở rộng 8 được giải quyết...
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#22 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 06-07-2012 - 21:14

Mở rộng 9: Ta làm khác mở rộng 8 bằng một bài toán khác hẳn nhưng cách giải thì cũng có phần tương tự.

Giải hệ phương trình với $x_i (i = \overline {1,n})$ là ẩn, $a,m$ là tham số $(a>0; m \ge 3)$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 \left( {x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 } \right) = x_2 \left( {x_2 ^2 + m^2 a^2 } \right) \\
x_2 \left( {x_{\rm{3}} ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 } \right) = x_3 \left( {x_3 ^2 + m^2 a^2 } \right) \\
........................................... \\
x_n \left( {x_1 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 } \right) = x_1 \left( {x_1 ^2 + m^2 a^2 } \right) \\
\end{array} \right.
\]

Lời giải:

Cũng tương tự, ta rút $x_i (i = \overline {1,n})$ ra ở từng phương trình của hệ, và giả sử $ x_1 = max\left\{ {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right\}$, và lập hiệu:
$x_n - x_1 = \frac{{x_1 ^3 + m^2 a^2 x_1 }}{{x_1 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 }} + \frac{{x_2 ^3 + m^2 a^2 x_2 }}{{x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 }}$
$ = \frac{{\left( {x_1 - x_2 } \right)\left[ {x_1 ^2 x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - m^2 a^2 x_1 x_2 + m^2 \left( {m^2 - 2m} \right)a^4 } \right]}}{{\left[ {x_1 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 } \right]\left[ {x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 } \right]}}$
Xét: ${x_1 ^2 x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - m^2 a^2 x_1 x_2 + m^2 \left( {m^2 - 2m} \right)a^4 }$ (*)
+ Nếu $xy \le 0$ dễ thấy (*) không âm.
+ Nếu $xy \ge 0$, ta có: $x_1 ^2 x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - m^2 a^2 x_1 x_2 + m^2 \left( {m^2 - 2m} \right)a^4 $
$ = x_1 ^2 x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \left( {2m^2 - 6m} \right)a^2 x_1 x_2 + m^2 \left( {m^2 - 2m} \right)a^4 \ge 0(m \ge 3)$
Như vậy, ta đã chứng minh được $x_1 ^2 x_2 ^2 + \left( {m^2 - 2m} \right)a^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - m^2 a^2 x_1 x_2 + m^2 \left( {m^2 - 2m} \right)a^4 >0$
Lại có $z-x \le 0$ do $ x = max\left\{ {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right\}$ $\to x_1 – x_2 \le 0 \to x_1=x_2 \to x_1=x_2=…=x_n$.
Đến đây đơn giản rồi …

Như vậy mở rộng 9 cũng được ta giải quyết một cách gọn gàng…
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#23 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 06-07-2012 - 21:57

Mở rộng 10: Hoàn toàn khác với mở rộng 9, đến với mở rộng 10 một cách tự nhiên như sau:

Giải hệ phương trình với $x_i (i = \overline {1,n})$ là ẩn, $a,m,n,p,q$ là tham số $(a>0; m,n,p,q >0; 3pn \ge qm)$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 \left( {mx_2 ^2 + na^2 } \right) = x_2 \left( {px_2 ^2 + qa^2 } \right) \\
x_2 \left( {mx_{\rm{3}} ^2 + na^2 } \right) = x_3 \left( {px_3 ^2 + qa^2 } \right) \\
........................................... \\
x_n \left( {mx_1 ^2 + na^2 } \right) = x_1 \left( {px_1 ^2 + qa^2 } \right) \\
\end{array} \right.
\]
Lời giải:

Từ các phương trình của hệ, ta rút ra được $x_i$ tương tự như các mở rộng ở trên. Và không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $ x_1 = max\left\{ {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right\}$

Ta có:
$x_n - x_1 = \frac{{\left( {x_1 - x_2 } \right)\left[ {pmx_1 ^2 x_2 ^2 + pna^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - qma^2 x_1 x_2 + qna^4 } \right]}}{{\left( {mx_1 ^2 + na^2 } \right)\left( {mx_2 ^2 + na^2 } \right)}}$

+ Nếu $xy \le 0$ thì dễ thấy $pmx_1 ^2 x_2 ^2 + pna^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - qma^2 x_1 x_2 + qna^4 > 0 $.

+ Nếu $xy > 0$ thì:
$pmx_1 ^2 x_2 ^2 + pna^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - qma^2 x_1 x_2 + qna^4$
$ = pmx_1 ^2 x_2 ^2 + pna^2 \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \left( {3pn - qm} \right)a^2 x_1 x_2 + qna^4 > 0(3pn \ge qm;x_1 x_2 > 0)$

Do vậy ta đã chứng minh được $pmx_1 ^2 x_2 ^2 + pna^2 \left( {x_1 ^2 + x_1 x_2 + x_2 ^2 } \right) - qma^2 x_1 x_2 + qna^4 >0$ trong mọi trường hợp.

Kết hợp với $x_n-x_1 \le 0$ ta suy ra được $x_1-x_2 \le 0 \to x_1 \le x_2 \to x_1=x_2=…=x_n$.

Đến đây đơn giản rồi, thế vào 1 trong các phương trình của hệ ban đầu ta tìm được ngay kết quả.


Mở rộng 10 được giải quyết hoàn toàn … :)
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#24 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 06-07-2012 - 22:59

Mở rộng 11: Có lẽ đây là mở rộng mạnh nhất của em :)

Giải hệ phương trình với các tham số $b,c,m,n,p,q,k (b,c,m,n,p,q > 0; k \in Z ^ +; 3pn \ge qm).$

\[
\left\{ \begin{array}{l}
bx_1 \left( {mx_2 ^2 + nc^k } \right) = x_2 \left( {px_2 ^2 + qc^k } \right) \\
bx_2 \left( {mx_{\rm{3}} ^2 + nc^k } \right) = x_3 \left( {px_3 ^2 + qc^k } \right) \\
........................................... \\
bx_n \left( {mx_1 ^2 + nc^k } \right) = x_1 \left( {px_1 ^2 + qc^k } \right) \\
\end{array} \right.
\]
Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1$ là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_n$.
Đặt $c^k=a^2 (c>0)$ ta thấy hao hao giống mở rộng 10. Và tương tự, ta lập hiệu $bx_n-b_1$, sẽ có chứa nhân tử $x_1-x_2$, từ đó chứng minh $x_1-x_2 \le 0 \to x_1 \le x_2 \to x_1=x_2 \to x_1=x_2=...=x_n$. Đến đây đơn giản, thế vào 1 trong các phương trình của hệ và ta có ngay kết quả...

Mở rộng 11 được giải quyết ... :)
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#25 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 07-07-2012 - 15:18

Mở rộng 11: Có lẽ đây là mở rộng mạnh nhất của em :)

Giải hệ phương trình với các tham số $b,c,m,n,p,q,k (b,c,m,n,p,q > 0; k \in Z ^ +; 3pn \ge qm).$

\[
\left\{ \begin{array}{l}
bx_1 \left( {mx_2 ^2 + nc^k } \right) = x_2 \left( {px_2 ^2 + qc^k } \right) \\
bx_2 \left( {mx_{\rm{3}} ^2 + nc^k } \right) = x_3 \left( {px_3 ^2 + qc^k } \right) \\
........................................... \\
bx_n \left( {mx_1 ^2 + nc^k } \right) = x_1 \left( {px_1 ^2 + qc^k } \right) \\
\end{array} \right.
\]
Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1$ là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_n$.
Đặt $c^k=a^2 (c>0)$ ta thấy hao hao giống mở rộng 10. Và tương tự, ta lập hiệu $bx_n-b_1$, sẽ có chứa nhân tử $x_1-x_2$, từ đó chứng minh $x_1-x_2 \le 0 \to x_1 \le x_2 \to x_1=x_2 \to x_1=x_2=...=x_n$. Đến đây đơn giản, thế vào 1 trong các phương trình của hệ và ta có ngay kết quả...

Mở rộng 11 được giải quyết ... :)
___


Bác Thing khủng bố quá ! >:) như thế này bọn đệ sao đuổi kịp ! hứ hứ hứ
Hết hi vọng oy` :icon6:
  • Kir yêu thích

P . I = A . 22


#26 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 07-07-2012 - 15:29

Bác Thing khủng bố quá ! >:) như thế này bọn đệ sao đuổi kịp ! hứ hứ hứ
Hết hi vọng oy` :icon6:


1. Mình tên Thịnh, không phải Thing, bạn vui lòng tôn trọng người khác một chút.
2. Mình không biết khủng bố như vậy là gì? Mình cũng không có đệ, mình cũng đâu có chạy đâu mà họ đuổi.
___
  • Kir yêu thích

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#27 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 07-07-2012 - 19:21

He he, các bổ đề của anh thịnh rây mơ rễ má với nhau cả thôi, mọi người tinh ý sẽ nhìn rõ ngay, tất cả chỉ từ đẳng thức dài nhất trong mỗi mở rộng của anh ik :D, đó cũng là một cách để mở rộng bài toán mà không làm ta tốn não thêm :D

#28 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 07-07-2012 - 23:34

He he, các bổ đề của anh thịnh rây mơ rễ má với nhau cả thôi, mọi người tinh ý sẽ nhìn rõ ngay, tất cả chỉ từ đẳng thức dài nhất trong mỗi mở rộng của anh ik :D, đó cũng là một cách để mở rộng bài toán mà không làm ta tốn não thêm :D

Kệ chú Thịnh...
Anh đây thấy thi xong là vui lắm rồi, làm mấy bài MSS để củng cố kiến thức nên không mở rộng nhiều !!!

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#29 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 08-07-2012 - 05:47

Kệ chú Thịnh...
Anh đây thấy thi xong là vui lắm rồi, làm mấy bài MSS để củng cố kiến thức nên không mở rộng nhiều !!!

Tui cũng vậy thôi ... Củng cố kiến thức :D
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#30 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 08-07-2012 - 12:03

Bác Thịnh thông cảm! Đánh nhầm thiếu dấu mà!
Xưng đệ nhưng chưa chắc đã là đệ, mình xưng vậy cho thân thôi.
Cuối cùng cũng xog MSS, phù

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 09-07-2012 - 10:32

P . I = A . 22


#31 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 09-07-2012 - 07:25

Bác Thịng thông cảm! Đánh nhầm thiếu dấu mà!
Xưng đệ nhưng chưa chắc đã là đệ, mình xưng vậy cho thân thôi.
Cuối cùng cũng xog MSS, phù

Bạn này hay nhầm quá, Thịnh không phải Thịng ( mà để gõ được chữ này unikey hơi vất :lol: ) Tiếng Việt không có đuôi "ing"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 09-07-2012 - 07:28


#32 wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2, THPT chuyên LQĐ, ĐN

Đã gửi 16-07-2012 - 09:34

Nhận xét:
Lần này khá nhiều bạn làm sai :)

Riêng bạn Nguyễn Lâm Thịnh vì giải sai bài gốc nên các bài mở rộng ko được tính.
Nhưng do tích cực mở rộng, BGK quyết định thưởng 10đ (G=10)

TỔNG KẾT HIỆP 2
MSS02: Cao Xuân Huy[31]
MSS03: yeutoan11
MSS04: nguyenta98ka
MSS05: Secrets In Inequalities VP
MSS06: maikhaiok
MSS09: minhtuyb
MSS10: duongld
MSS14: daovuquang
[42]
MSS16: Nguyễn Hữu Huy[105]
MSS17: Nguyen Lam Thinh[66]
MSS19: Kir
MSS21: nthoangcute[64]
MSS22: nth1235
MSS24: ToanHocLaNiemVui
MSS26: sherlock holmes 1997
MSS27: Cuong Ngyen
MSS28: tranhydong
MSS30: phantomladyvskaitokid
MSS32: tson1997
MSS33: WhjteShadow[65]
MSS36: vtduy97
MSS37: hell angel 97
MSS39: danganhaaaa
MSS40: mituot03
MSS43: agito0002

MSS44: hamdvk
MSS45: Tru09
MSS46: ninhxa
MSS47: thoconlk
MSS48: milinh7a
MSS49: thanhluong
MSS50: Đào Thị Lan Anh
MSS51: kenvinkernpham
MSS52: trungdung97
MSS53: Tran Hong Tho
MSS54: khanhlelekhanh
MSS55: reddevil1998
MSS56: dragonkingvu
MSS57: Thai Thi Van Khanh
MSS58: thedragonknight
MSS59: ducthinh26032011
MSS60: caokhanh97
MSS61: nhuquynhdinh
MSS62: nhanet55 [0]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 16-07-2012 - 09:37

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh