Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max $A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
lamtran

lamtran

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 14 Bài viết
1.Cho các số thực dương a,b,c.Cmr: $ \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$
2. Cho x,y,z$\ \geq$0 thỏa mãn: x+y+z$ \leq$3
Tìm max A=$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamtran: 04-07-2012 - 22:18


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Áp dụng bất đẳng thức $27(x^4+y^4+z^4)\geq (x+y+z)^4$ Ta có:
$27[(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4]\geq (3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^4$
Mặt khác the0 $AM-GM$ ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{9}{abc+2}$ (Do $abc+2\geq 3\sqrt[3]{abc}$)
Nên $27[(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4]\geq (3+\frac{9}{abc+2})^4$
$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4\geq 3(a+\frac{1}{abc+2})^4$
(ĐPCM)
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

2. Cho x,y,z$\ \geq$0 thỏa mãn: x+y+z$ \leq$3
Tìm max A=$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$


Ta sẽ chứng minh $\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\leq x+1-\sqrt{x}$
$$\Leftrightarrow 1+x^2\leq 2(x-\sqrt{x}+1)^2\Leftrightarrow 1+x^2\leq 2(x^2+x+1-2x\sqrt{x}+2x-2\sqrt{x})$$
$$\Leftrightarrow x^2-4x\sqrt{x}+6x-4\sqrt{x}+1\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^4\geq 0$$
Đúng, suy ra $\sqrt{1+x^2}\leq \sqrt{2}(x+1)-\sqrt{2x}$. Lại theo CS

$3\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$. Thay vào bài, ta được

$VT\leq \sqrt{2}(x+y+z+3)+(3-\sqrt{2}).(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq \sqrt{2}.6+(3-\sqrt{2}).3$
$=9+3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 05-07-2012 - 07:51


#4
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

1.Cho các số thực dương a,b,c.Cmr: $ \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$

Cách khác cho bài này ! Ngắn hon tí !
Theo AM-GM và Holder ta có:
$VT\geq 3\sqrt[3]{[(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})]^{4}}\geq 3(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})^{4}\geq 3(1+\frac{3}{2+abc})^{4}$
(Do $abc+2\geq 3\sqrt[3]{abc}$ )

#5
phaidautruongphan9997

phaidautruongphan9997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
$\sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{2x}\leq \sqrt{2}(1+x)$
$\sqrt{1+y^{2}}+ \sqrt{2y}\leq \sqrt{2}(1+y)$
$\sqrt{1+z^{2}}+ \sqrt{2z}\leq \sqrt{2}(1+z)$
$\Rightarrow A\leq \sqrt{2}(3+x+y+z)+ (3-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq \sqrt{2}.6+(3-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}= 9 + 3\sqrt{2}$
dấu = xảy ra khi : x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phaidautruongphan9997: 08-07-2012 - 20:44

Khi bạn sinh ra đời, bạn khóc còn mọi người xung quanh cười. Hãy sống sao cho khi bạn qua đời, mọi người khóc còn bạn, bạn cười.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh