Cho tam giác ABC, D là trung điểm BC. Lấy E,F lần lượt thuộc AB,AC. C/m diện tích DEF lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ diện tích ABC
Áp dụng công thức tính diện tích ở dạng sin ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*AB*Sin A$.
Khi đó: kí hiệu: $[ABC]=S_{ABC}=S$
Ta có: $\frac{[AEF]}{S}=\frac{AE}{AB}*\frac{AF}{AC};\frac{[BED]}{S}=\frac{1}{2}\frac{BE}{AB};\frac{[CDF]}{S}=\frac{1}{2}\frac{CF}{CA}$.
Ta cần chứng minh tổng ba phân thức trên lớn hơn bằng $\frac{1}{2}$(Kí hiệu A là tổng ba phân thức trên. Cm: $A\ge \frac{1}{2}$).
Thật vậy: Đặt $(\frac{AE}{AB};\frac{AF}{CA})\rightarrow (a;b)(a,b\in [0;1])$.
Khi đó: $A=\frac{1}{2}(1-a+1-b)+ab=a(b-\frac{1}{2})-\frac{b}{2}+1=f(a)$.
Nhận xét đây là hàm bậc nhất theo $a$, mà $a\in [0;1]$, do đó: $Min A=Min[f(0);f(1)]$.
Ta có: $f(0)=\frac{-b}{2}+1=f(b);f(1)=\frac{b}{2}+\frac{1}{2}$.
Nếu $b\in [\frac{1}{2};1]\implies f(1)\ge f(0)\implies MinA=f(0)=\frac{-b}{2}+1\ge \frac{1}{2}(do...b\in [\frac{1}{2};1])$
Nếu $b\in [0;\frac{1}{2}]\implies f(1)\le f(0)\implies MinA=f(1)=\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}(do...Dk)$.
Tóm lại ta luôn có: $MinA=\frac{1}{2}$.Dấu $=$ xảy ra khi $a=0,b=1.v.a=1,b=0$. Tức là : $E\equiv A;F\equiv C.v. E\equiv B;F\equiv A$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 24-06-2016 - 22:33