Chủ đề này có 452 trả lời

[triethuynhmath]

Bài 9:
Cho tam giác ABC với P là tâm đường tròn nội tiếp.
Chứng minh hệ thức:
$AB.CP^2+BC.AP^2+CA.BP^2=AB.BC.CA$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:45

[tranhydong]

Góp vui 1 bài :
Bài 10 : Giả sử 10 điểm $A0,A1,...A9$ chia đường tròn bán kính R thành 10 cung bằng nhau. Chứng minh rằng $A0A3-A0A1=R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:45

[triethuynhmath]

Làm bài 10 của bạn Hy Đông nhé:
Ta có,DDCM: Thập giác A0A1...A9 là 1 thập giác đều có các góc=$144^0$
Ta có các cung A0A1=A1A2=...A9A0(giả thiết)=$\frac{360^0}{10}$=$36^0$
Cho A0A3 cắt A1O tại B,ta có:
Áp dụng góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có $\angle A0BA1=\frac{1}{2}$(Sđ cung A0A1+Sđ cung A3A4+Sđ cung A4A5+Sđ cung A5A6)=$72^0$=$\frac{1}{2}$(Sđ cung A0A9+Sđ cung A9A8+Sđ cung A7A8+Sđ A8A7)=$\angle A0A1B$=> tam giác A0A1B cân tại A0=> A0A1=A0B
Và ta có:
$\angle OBA3=\angle A0BA1=72^0$(đối đỉnh)
$\angle BOA3$=Sđ cung A1A3= Sđ cungA1A2+Sđ cung A2A3=$72^0$ (góc ở tâm)
=> tam giác A3BO cân tại A3=> A3B=OA3=R
=> A0A3-A0A1=A0A3-A0B=A3B=R(đpcm)

[tranhydong]

Bài 8 :
Cho AG cắt BC tại M . Các đường thẳng từ C và B song song với (d) cắt AM lần lượt là S và T => MS=MT và SC=BT
Theo định lý Ta-lét ta có : $\frac{SC}{GA1}=\frac{MS}{MG} (SC//GA1)$
$\frac{SC}{GB1}=\frac{AS}{AG}$
$\frac{BT}{GC1}=\frac{SC}{GC1}=\frac{AT}{AG}$
Do G là trọng tâm : =>$GM=\frac{1}{3}AM , AG=\frac{2}{3}AM$
Vậy : $\frac{SC}{GA1}+\frac{SC}{GB1}=\frac{3MS}{AM}+\frac{1.5SA}{AM}=\frac{3AT}{2AM}=\frac{SC}{GC1} => dpcm$

[triethuynhmath]

Post tiếp bài 11,12:
Bài 9 vào chiều mai mình sẽ post cách giải nhé,bây giờ là hai bài toán khác:
Bài 11:
Cho tam giác ABC.Về phía ngoài tam giác dựng các điểm D,E,F sao cho các tam giác BCD,CAE,ABF là các tam giác đều.CMR: hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn có D,E lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) lên AB,AC và H,K Lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên AB.
CMR: tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHK là trực tâm của tam giác ADE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:46

[perfectstrong]

Bài 9: http://diendantoanho...ndpost&p=316522
Bài 11: MSS trận 14 http://diendantoanho...showtopic=71523

Ủng hộ thêm 1 bài mở rộng của bài 4
Bài 13:
Cho đường tròn $(O)$ và 2 điểm $A,B$ cố định bên ngoài đường tròn. Tìm $M$ trên $(O)$ sao cho $MA+MB$ ngắn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-07-2012 - 23:18

[BlackSelena]

Lời giải bài 12:
Gọi trực tâm $\triangle ADE = M$ tâm đường tròn nội tiếp $\triangle AKH = N$. Ta sẽ chứng minh $M\equiv N$
Thật vậy ! Dễ dàng chứng minh $AD=AE$
$DM \cap AB = Q$
Ta có: $cosA=\frac{AP}{AD}=\frac{AP}{AE}=\frac{AM}{AO} (1)$
$(N) \text{ tiếp xúc } AB = P$
Ta có tính chất cơ bản sau: Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp/ngoại tiếp của 2 tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Ta có $\triangle AKH \sim \triangle ACB$
$\Rightarrow \frac{NQ}{OE} = \frac{AH}{AB}= cosA (2)$
Từ $(1) \text{ và } (2) \Rightarrow \frac{AM}{AO}=\frac{AN}{AO}$
Mà $M,N \epsilon AO \Rightarrow M\equiv N$
$\Rightarrow đpcm$

[triethuynhmath]

Trước khi ngủ ráng post thêm bài
Bài 14:
Cho tam giác ABC.2 điểm M,N thay đổi sao cho $\frac{MA}{NA}=\frac{MB}{NB}=\frac{MC}{NC}\neq 1.$
CMR:MN đi qua 1 điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:46

[dohuuthieu]

Bài 15:Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp $(O,R)$ vừa ngoại tiếp $(I,r)$.Đặt OI=d.Chứng minh rằng
$\frac{1}{(R-d)^{2}}+\frac{1}{(R+d)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:46

[triethuynhmath]

Đánh số thứ tự bài cái bạn ơi

Bài của bạn là định lý Fuss đây mà.
CM:
Kéo dài BI,DI cắt (O) tại M,N
Ta có $\angle MNC=\angle IBC,\angle NMC=\angle IDC$
=> $\angle MNC+\angle NMC=\angle IBC+\angle IDC=\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle ABC)=90^0$
=> O là trung điểm MN.
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác IMN có:
$OI^2=\frac{IM^2}{2}+\frac{IN^2}{2}-\frac{MN^2}{4}=\frac{IM^2}{2}+\frac{IN^2}{2}-R^2$
Do đó: $\frac{1}{(R-d)^2}+\frac{1}{(R+d)^2}=\frac{2(R^2+d^2)}{(R^2-d^2)^2}$
Áp dụng phương tích của điểm I đối với đường tròn (O),ta có:
$(R^2-d^2)^2=IM^2.IB^2=IN^2.ID^2$
=>$\frac{IM^2+IN^2}{(R^2-d^2)^2}=\frac{IM^2}{(R^2-d^2)^2}+\frac{IN^2}{(R^2-d^2)}$
=$=\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}$
Cho(I) tiếp xúc AB tại E,CD tại F,Ta có:
$\frac{1}{IB^2}=\frac{sin IBA^2}{r^2}=\frac{sin^2\frac{B}{2}}{r^2}$
Tương tự $\frac{1}{ID^2}=\frac{sin\frac{D}{2}^2}{r^2}$
=> $\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}=\frac{1}{r^2}(sin\frac{B}{2}^2+sin\frac{D}{2}^2)$
Ta có $\angle B+\angle D=180^0=>\frac{\angle B}{2}+\frac{\angle D}{2}=90^0$
ta có định lý:Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia.
Vậy $sin\frac{D}{2}^2=cos\frac{B}{2}^2$
=>$\frac{1}{r^2}(sin\frac{D^2}{2}+sin\frac{B^2}{2})=\frac{1}{r^2}$
Hay ta có đpcm.
P/s:Bài này hay thật,xứng đáng cho vào topic này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 07-07-2012 - 00:00

[BlackSelena]

Em có góp ý chút về topic. Đã là "THCS" thì bao gồm cả 6,7,8,9. Em thấy mấy bài trong topic này toàn là chương trình lớp 9 nâng cao ko à (có 1 chút 8). Mong là mọi người up những bài lớp dưới để các mem khác vô thảo luận, biết đâu lại tìm được nhiều cách giải hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 00:16

[triethuynhmath]

Ok, thể theo nguyện vọng của em, 1 bài lớp 8:
Bài 16: ( 2 bài này ngắn nên mình gom lại thành 1 bài mặc dù chúng chả liên quan đến nhau)
a) Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB.
x,y,z lần lượt là độ dài 3 đường phân giác xuất phát từ đỉnh A,B,C
CMR: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

b) Cho tam giác ABC nhọn,H là trực tâm.
CMR: AH+BH+CH $< \frac{2(AB+BC+CA)}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 00:13

[BlackSelena]

Lời giải bài 16 câu b:
Kẻ $MH // AC (M \epsilon AB); MN // AB (N \epsilon AC)$:
Dễ dàng chứng minh $AMHN: \text{ hình bình hành} \Rightarrow AM = NH$
Ta có $AH < NH + AN = AM + AN$
$BH < BM; CH < CN (\text{ quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc } ) $
$\Rightarrow AH + BH + CH < AM + AH + BM + CN = AB+AC$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta có:
$3(AH+BH+CH) < 2(AB+BC+CA)$
$\Rightarrow đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 00:20

[henry0905]

Sau thời hạn 3 ngày, mình xin post đáp án bài 2:
Gọi G là trọng tâm tam giác PAB
Ta có: $\triangle IAP\sim \triangle IMA$
$\Rightarrow IA^{2}=IP.IM$
$\triangle IAM\sim \triangle INB$
$\Rightarrow IA.IB=IN.IM$
Mà IA=IB (gt)
$\Rightarrow$ IP=IN
Gọi T là điểm đối xứng của O qua I nên T cố định
$\Rightarrow$Tứ giác PONT là hình bình hành (trung điểm 2 đường chéo)
$\Rightarrow$ PT=ON=R
Gọi E là điểm trên IT sao cho $IE=\frac{1}{3}IT\Rightarrow$ E cố định
Xét tam giác IPT có:
$\frac{IG}{IP}=\frac{IE}{IT}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ GE//PT
Do đó $\frac{EG}{TP}=\frac{1}{3}\Rightarrow GE=\frac{1}{3}R$
$GE=\frac{1}{3}R$ không đổi, E cố định. Vậy G thuôc đường tròn cố định tâm E bán kính $\frac{R}{3}$

[Beautifulsunrise]

Bài 17 (Lớp 7): Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi P là điểm trên cạnh BC, M là trung điểm AB. Các điểm L, N thuộc đoạn AP sao cho CN vuông góc AP và AL = CN.
a) Tính góc LMN.
b) Biết diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác LMN, hãy tính góc CAP.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 07-07-2012 - 14:44

[henry0905]

Bài 16:(2 bài này ngắn nên mình gom lại thành 1 bài mặc dù chúng chả liên quan đến nhau)
a)Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh BC,CA,AB.
x,y,z lần lượt là độ dài 3 đường phân giác xuất phát từ đỉnh A,B,C
CMR: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
b)Cho tam giác ABC nhọn,H là trực tâm.
CMR: AH+BH+CH $< \frac{2(AB+BC+CA)}{3}$

16a)
Vẽ đường phân giác AG (G thuộc BC) và từ B vẽ đường song song AG cắt AC tại M (các điểm D,E,F chỉ để vẽ hình nhanh hơn).
BM//AG $\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{BAG},\widehat{AMB}=\widehat{CAG}$
$\Rightarrow$ tam giác MAB cân tại A $\Rightarrow$ AM=AB
Ta có: $\frac{CA}{CM}=\frac{AG}{MB}$
$\Rightarrow AG=\frac{CA}{CM}.MB< \frac{CA}{CA+AM}.2AB=\frac{2AC.AB}{AC+AB}$
$\Rightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{2}(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})$
$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

P/s: Mong các bạn post bài từ từ để tránh trường hợp topic bị loãng

[triethuynhmath]

Bài 17 (Lớp 7): Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi P là điểm trên cạnh BC, M là trung điểm AB. Các điểm L, N thuộc đoạn AP sao cho CN vuông góc AP và AL = CN.
a) Tính góc LMN.
b) Biết diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác LMN, hãy tính góc CAP.

Ok, Dứt điểm bài 17 để tránh loãng topic nào:
a) Từ giả thiết ta có tứ giác CNMA nội tiếp ($\angle CNA=\angle CMA=90^0$) => $\angle MAL=\angle NCM$,
Mặt khác: CN = AL (Giả thiết), CM = MA =$\frac{1}{2}AB$ (Trung tuyến ứng với cạnh huyền)
=> tam giác MNC= tam giác MLA (cgc)
=> MN=ML và $\angle NMC=\angle LMA$ => $\angle LMN=\angle CMA$
tam giác ABC vuông cân có AM là trung tuyến nên cũng là đường cao, từ đó ta có $\angle AMC=90^0$
=>$\angle LMN=90^0$. => tam giác MNL vuông cân luôn (MN=ML)

b) 2 tam giác LMN và CAB vuông cân nên đồng dạng với nhau (cái này dễ) => $(\frac{MN}{AC})^2= \frac{S_{MNL}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}$=>$\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$
Gọi I là giao điểm của AN với CM, dễ chứng minh tam giác NMI đồng dạng tam giác CAI (gg)
=> $\frac{MI}{AI}=\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$
tam giác AMI vuông tại M có $\frac{MI}{AI} = \frac{1}{2} =sinMAN$=> $\angle MAN=30^0$
=> $\angle CAP=\angle BAC-\angle MAN =15^0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 00:12

[L Lawliet]

Bài 18: (Lớp 9) Cho tam giác $ABC$ và $K$ thuộc $BC$ sao cho $KB=2KC$. Gọi $L$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$ và $F$ là trung điểm của $BC$. Giả sử rằng $\widehat{KAB}=2\widehat{KAC}$. Chứng minh rằng $FL$ vuông góc với $AC$.

Có một số bài các bạn chưa vẽ hình các bạn cập nhật ngay nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-10-2013 - 22:48

[Beautifulsunrise]

Bài 19 (Lớp 8). Cho 2 tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau sao cho ABA'B', ACA'C' là hình bình hành.Trên các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm X, Y, Z sao cho C'X // A'Y // B'Z. CMR: X, Y, Z thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 15-07-2012 - 00:01

[henry0905]

Bài 7: D,E là các điểm di động trên AB,AC của tam giác ABC sao cho 3BD=2CE. C/m tâm (O) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn nằm trên 1 đường cố định.

Mình xin post đáp án bài 7:
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Nếu O,A,K thẳng hàng thì O thuộc đường cố định AK
Nếu O,A,K không thẳng hàng:
Gọi F là giao điểm của (O) và (K)
Ta có: $\widehat{FDA}=\widehat{FEA}$
$\Rightarrow \triangle FBD\sim \triangle FCE$
$\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{BD}{CE}=\frac{2}{3}$
Vẽ đường phân giác trong FM và phân giác ngoài FN của $\widehat{BFC}$ với BC
$\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{NB}{NC}=\frac{FB}{FC}=\frac{2}{3}$ nên M,N cố định
$\widehat{MFN}=90^{\circ}$ $\Rightarrow $ F thuộc đường tròn tâm J đường kính MN. Dễ thấy J nằm bên tia đối tia BC nên (J,JM) và (K,KA) cắt nhau tại 2 điểm cố định $\Rightarrow $ F cố định
$\Rightarrow $ O thuộc đường trung trực FA.

P/s: Các bạn hãy để topic duy trì ở mức độ từ 1-2 bài chưa có lời giải để không bị loãng topic và để các bạn dễ tập trung giải hơn (vì lượng bài ít). Rất cảm ơn các bạn đã ủng hộ topic này.