Chủ đề này có 445 trả lời

[honglien]

-Cho đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn tâm O. Gọi S là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Kẻ cát tuyến SBC và SEF cắt đường tròn (O) tương ứng tại B, C và E,F. Gọi M, N là giao điểm của BF , CE với d. Chứng minh SM=SN     

[Minhcamgia]

-Cho đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn tâm O. Gọi S là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Kẻ cát tuyến SBC và SEF cắt đường tròn (O) tương ứng tại B, C và E,F. Gọi M, N là giao điểm của BF , CE với d. Chứng minh SM=SN     

Gọi $T,U$ lần lượt là trung điểm của $CE,BF \Rightarrow OT \perp CE; OU \perp BF \Rightarrow \angle OTN = \angle OSN = 90 \Rightarrow OTSN$ nội tiếp đường tròn đường kính $ON \Rightarrow \angle SON = \angle STN$

Tương tự $SUOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OM \Rightarrow \angle SOM = \angle SUN$.

Xét $\Delta  SCE$ và $\Delta SFB$ có:

 - $ \angle SCE = \angle SFB$

 - $\angle SEC = 180 - \angle CEF = 180 - \angle CBF = \angle SBF$

$\Rightarrow \Delta SCE \sim \Delta SFB (g.g) \Rightarrow \frac{EC}{ES} = \frac{BF}{BS}$.

Xét $\Delta STE$ và $\Delta SUB$ có:

 - $\angle STE = \angle SBU$

 - $\frac{TE}{SE} = \frac{2TE}{2SE} = \frac{CE}{2SE} = \frac{BF}{2SB} = \frac{BU}{BS}$

$\Rightarrow \Delta SUB \sim \Delta STE (c.g.c) \Rightarrow \angle STE = \angle SUB \Rightarrow \angle SOM = \angle SON \Rightarrow Delta MON$ cân tại $O \Rightarrow SM = SN$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 19-04-2018 - 13:23

[Minhcamgia]

 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), vẽ đường tròn (w1) đi qua A, C và tiếp xúc với cạnh BC, (w2) đi qua A, B và tiếp xúc BC. (w1) cắt (w2) tại điểm K khác A. 

a. Chứng minh AK đi qua trung điểm M của BC

b. Cho P là điểm bất kì thuộc cung BC nhỏ của (O), gọi P' là điểm đối xứng của P qua cạnh BC. Chứng minh bốn điểm B, P', K, C cùng thuộc một đường tròn.

c. các tia BP', CP' cắt cạnh CA. AB tại E, F. Chứng minh năm điểm A, E, F, P', K cùng thuộc một đường tròn 

 

a) Gọi $H$ là giao của $KA$ và $BC$. Ta có $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(w_{1})$ và $w_{2}) \Rightarrow HB^2 = HK.HA = HC^2 \Rightarrow HB^2 = HC^2 \Rightarrow HB = HC \Rightarrow H$ là trung điểm $BC \Rightarrow H \equiv M \Rightarrow AK$ đi qua $M$.

b) Ta có $\angle BKC = 180 - \angle CBK - \angle BCK = 180 - \angle BAK - \angle CAK = 180 - \angle BAC$ mà $\angle BP'C = \angle BPC = 180 - \angle BAC \Rightarrow \angle BP'C = \angle BKC \Rightarrow BP'KC$ nội tiếp.

c) Ta có $\angle EKF = \angle BP'C = 180 - \angle BAC \Rightarrow AEFP'$ nội tiếp

$\angle EP'K = 180 - \angle BP'K = \angle BCK = \angle KAE \Rightarrow AEKP'$ nội tiếp

$\Rightarrow p \in (AEK)$ mà $ F \in (AEK) \Rightarrow A,F,P',K,E$ nội tiếp.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 19-04-2018 - 13:45

[toanhoc2017]

Giải bài 93 rất hay

[Minhcamgia]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A. Qua điểm M bất kì thuộc cung Ac (trừ A và C), kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt d tại E và cắt đường thẳng OC tại D. Gọi F là giao điểm BD và d. Chứng minh rằng tích AE.EF không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cung AC.

Đề bài sai rồi bạn ơi

[backieuphong]

Cho đường tròn (O) có 2 tiếp tuyến AB, AC. I, J lần lượt là trung điểm AB, AC. Trên đường thẳng IJ lấy điểm M và vẽ tiếp tuyến MD đến (O). Chứng minh MD = MA