Bài 112: Giả sử $M, N$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{MAB} = \widehat{NAC}$ và $\widehat{MBA} = \widehat{NBC}$.
Chứng minh rằng : $\frac{AM.AN}{AB.AC} + \frac{BM.BN}{BA.BC} + \frac{CM.CN}{CA.CB} = 1$
_______
Chú ý ghi số bài
Ý tưởng dựng hình là từ cách chứng minh định lý $Ptolemy$, và thật kì diệu trong bài làm ta cũng sử dụng tới $Ptolemy$ để chứng minh ^^:
Lấy $K \in BN$ sao cho $\angle BCK = \angle BMA$, vậy ta có $\triangle BMA \sim \triangle BCK$
$\Rightarrow \frac{AB}{MB} = \frac{BK}{BC}$
Mặt khác dễ thấy $\angle ABK = \angle MBC$
$\Rightarrow \frac{AB}{BM} = \frac{AK}{CM} =\frac{BK}{BC}$
Và $\angle CKN = \angle NAC = \angle BAM$
$\Rightarrow ANCK: tgnt$
Và theo $Ptolemy$ cho $ANCK$: $AC.NK = AN.CK + CN.AK$
Mặt khác, $CK = \frac{AM.BC}{BM}, AK = \frac{AB.CM}{BM}, BK = \frac{AB.BC}{BM}$
Nên ta có
$$AC(BK-BN) = AN.CK + CN.AK$$
$$\Leftrightarrow AC(\frac{AB.BC}{BM} - BN) = \frac{AN.AM.BC}{BM} + \frac{CN.AB.CM}{BM}$$
$$\Leftrightarrow AB.BC.CA = AN.AM.BC + CN.AB.CM + BN.BM.AC$$
$$\Leftrightarrow \frac{AM.AN}{AB.AC} + \frac{BM.BN}{BA.BC} + \frac{CM.CN}{CA.CB} = 1$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 24-10-2012 - 22:49