Chủ đề này có 4 trả lời

[minhson95]

cho a,b,c>0 TM ab+bc+ca=abc CMR:

$\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\dfrac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)} \geq 1$

[Secrets In Inequalities VP]

Ta sẽ CM : $\frac{2(a^{4}+b^{4})}{ab(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)(a^{3}+b^{3})\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+b^{3}a$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geq 0$ ( luôn đúng )
TT có 2 cáj nua r cộng vào rồi chia 2 vế cho 2 cùng vs chú ý $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 1$ là ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 06-07-2012 - 10:51

[nthoangcute]

cho a,b,c>0 TM ab+bc+ca=abc CMR:

$\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\dfrac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)} \geq 1$

Ta thấy rằng:
$\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{a+b}{2ab}$ $\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{2ab(a+b)(a^2-ab+b^2)} \geq 0$
Suy ra:
$\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\dfrac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}$
$\geq \frac{a+b}{2ab}+\frac{b+c}{2bc}+\frac{c+a}{2ca}$
$=\frac{ab+bc+ca}{abc}$
$=1$

[T M]

Ta sẽ CM : $\frac{2(a^{4}+b^{4})}{ab(a^{3}+b^{3})}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Bạn có thể nói thêm về ý tưởng chứng minh điều này không ?

[nthoangcute]

Bạn có thể nói thêm về ý tưởng chứng minh điều này không ?

Ý tưởng đó là đặt $a=\frac{1}{x}$ và $b=\frac{1}{y}$
Suy ra $\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}$
Đến đây quá ngon rồi