Chủ đề này có 3 trả lời

[lamtran]

Cho a, b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c=3
Cmr: $ \left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq \frac{-3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamtran: 06-07-2012 - 15:56

[triethuynhmath]

Bài này hehe:
$(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=a^3-3a^2+3a+b^3-3b^2+3b+c^3-3c^2+3c-3$
$=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+b(b^2-3b+\frac{9}{4})+c(c^2-3c+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}(a+b+c)-3$
$=a(a-\frac{3}{2})^2+b(b-\frac{3}{2})^2+c(c-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$$\geq \frac{-3}{4}$
(do a,b,c không âm)

[ElenaIP97]

Do a+b+c=3=> (a-1)+(b-1)+(c-1)=0
=> $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}=3(a-1)(b-1)(c-1)$
Xét: $4(1-a)(1-b)(1-c)\leq (\frac{7-a-b-c}{4})^{4}=1^{4}=1$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4}$
$\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq \frac{-1}{4}$
$\Rightarrow 3(a-1)(b-1)(c-1)\geq \frac{-3}{4}$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi 1 trong 3 số =0, 2 số còn lại bằng $\frac{3}{2}$

[chmod]

Xét: $4(1-a)(1-b)(1-c)\leq (\frac{7-a-b-c}{4})^{4}=1^{4}=1$

chỗ này không ổn ! xin hỏi có phải bạn áp dụng AM-GM không ? nếu nhứ vậy thì không được vì các số đó chưa chắc dương hơn nữa dù có áp dụng như vậy thì làm sao để xét được dầu "=" xảy ra khi 1 sô = 0 còn 2 số kia là $\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 07-07-2012 - 14:38