CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Tác giả : Doãn Trung Kiên - THPT chuyên Lam Sơn
Lời nói đầu : Phương trình nghiệm nguyên là một đề tài lí thú của Số học và đại số , đã lôi cuốn nhiều người , từ các học sinh nhỏ với bài toán như Trăm trâu trăm cỏ đến cả các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lí lớn fecma . Được nghiên cứu từ thời Điophăng thế kỉ III , phương trình bài toán với nghiệm nguyên mãi mài là đối tựng nghiên cứu toán học. Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi chuyên thường có những dạng này
A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Phương pháp sử dụng tính chia hết
+ Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn .
+ Phương pháp đưa về phương trình ước số .
2) Phương pháp xét số dư của từng vế .
3) Phương pháp dùng bất đẳng thức
+Phương pháp xếp thứ tự các ẩn
+Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn
+Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên + Sử dụng điều kiện $\Delta \geq 0ủa cuả phương trình bậc hai.
4)Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
* Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương .
Các tính chất thường dùng :
- Số chính phương không tận cùng bằng : 2 , 3 , 7 , 8 .
-Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho $p^{2}
-Số chính phương chia 3 có số dư 0 , 1
- Số chính phương chia 4 có số dư 0 , 1;
- Số chính phương chia 8 có số dư 0 , 1 , 4
* Tạo ra bình phương đúng .
* Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số là SPC
* Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp bằng 0 .
5) Phương pháp lùi vô hạn , nguyên tắc cực hạn .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. (Trích đề thi chuyên Lam Sơn )
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a) $x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}$b) $x^{3}+x^{2}+x+1=y^{3}$
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{5}-5x^{3}+4x=25(5y+1)$
