Cho các biến $a,b,c$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)\# 0$ và các tham số $n,n>0$ và $m\ge n$. Tìm GTNN của P theo $m,n$ :
$$P=\dfrac{(ma-nb)^2}{(a+b)^2}+\dfrac{(mb-nc)^2}{(b+c)^2}+\dfrac{(mc-na)^2}{(c+a)^2}$$
Edited by huymit_95, 07-07-2012 - 16:04.
Edited by huymit_95, 07-07-2012 - 16:04.
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
Tớ thử nhé, nhưng mới chỉ trong TH $a,b,c \geq 0$ thôi. Đặt $m=n+k$ với $k \ge 0$, viết lại BĐTBài toán [huymit_95]
Cho các biến $a,b,c$ sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)\# 0$ và các tham số $n,n>0$ và $m\ge n$. Tìm GTNN của P theo $m,n$ :
$$P=\dfrac{(ma-nb)^2}{(a+b)^2}+\dfrac{(mb-nc)^2}{(b+c)^2}+\dfrac{(mc-na)^2}{(c+a)^2}$$
Edited by le_hoang1995, 08-07-2012 - 08:18.
Edited by huymit_95, 08-07-2012 - 06:15.
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
chỗ đó sao viết được như thế anhTớ thử nhé, nhưng mới chỉ trong TH $a,b,c>0$ thôi. Đặt $m=n+k$ với $k \ge 0$, viết lại BĐT
$$P=\sum \frac{(ka+na-nb)^2}{(a+b)^2}=\sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}+\sum \frac{n^2(a-b)^2}{(a+b)^2}\geq \sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}$$
Sử dụng BĐT quen thuộc $$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{3}{4}$$
Chứng minh:
Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$, ta cần chứng minh $$\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Dễ thấy $$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy(x-y)^2+(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geq 0$$
$$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$
$$\Rightarrow P\geq \sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3k^2}{4}=\frac{3(m-n)^2}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
Edited by le_hoang1995, 08-07-2012 - 08:06.
Edited by le_hoang1995, 08-07-2012 - 08:26.
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
$$P=\sum \frac{(ka+n(a-b))^2}{(a+b)^2}=\sum \left [ \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}+\frac{n^2(a-b)^2}{(a+b)^2} \right ]$$
$$=\sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}+\sum \frac{n^2(a-b)^2}{(a+b)^2}$$
Mà $(a-b)^2 \geq 0$ nên
$$P\geq \sum \frac{k^2a^2}{(a+b)^2}$$
Khẳng định luôn $2kn\sum \frac{a\left(a-b\right)}{\left( a+b\right)^2}=0$ Dễ sợ thật. Kiểm tra nó không bằng 0 thế này
Nếu chứng minh $\sum \frac{a\left(a-b\right)}{\left( a+b\right)^2} \geq 0$ với trường hợp số thực cũng khá chua.
Edited by phuc_90, 10-10-2014 - 10:44.
Khẳng định luôn $2kn\sum \frac{a\left(a-b\right)}{\left( a+b\right)^2}=0$ Dễ sợ thật. Kiểm tra nó không bằng 0 thế này
Nếu chứng minh $\sum \frac{a\left(a-b\right)}{\left( a+b\right)^2} \geq 0$ với trường hợp số thực cũng khá chua.
ờ,mình cũng thấy mất 1 lượng...
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Để chứng minh :
Edited by binhnhaukhong, 10-10-2014 - 16:08.
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Để chứng minh :
$\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geq \frac{3}{4}$Ta có thể áp dụng Nesbit 3 biến số như sau:$\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geq \frac{1}{3}(\sum\frac{a}{b+c})$
Nesbit kiểu gì nhỉ cho bất đẳng thức hoán vị ?
Đọc kỉ đề nhé !!! Ở đây là $\sum \frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}$ chứ ko phải $\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}$
Còn bất đẳng thức $\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geq \frac{3}{4}$ thì hiển nhiên, bàn chi nữa.
Vấn đề là ở chỗ $\sum \frac{a(a-b)}{(a+b)^2} \geq 0$ chưa được giải quyết cho các số thực.
P/S : Stop !!!
Nesbit kiểu gì nhỉ cho bất đẳng thức hoán vị ?
Đọc kỉ đề nhé !!! Ở đây là $\sum \frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}$ chứ ko phải $\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}$
Còn bất đẳng thức $\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geq \frac{3}{4}$ thì hiển nhiên, bàn chi nữa.
Vấn đề là ở chỗ $\sum \frac{a(a-b)}{(a+b)^2} \geq 0$ chưa được giải quyết cho các số thực.
P/S : Stop !!!
ồ xin lỗi lộn đề!
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
0 members, 1 guests, 0 anonymous users