Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN, GTNN $P = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \neq 0$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P = $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$
----------------

@WWW:

1. Đề nghị bạn đặt tiêu đề cho đúng. Nếu tái phạm sẽ bị kỉ luật.


2. Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết
tại đây.

- tkvn 97-


#2
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \neq 0$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P = $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$

Xin trích dẫn một lời giải.

Như đã biết tư tưởng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức của chúng ta đó là đưa bài toán về dạng đơn giản nhất có thể từ một bai toán có nhiều biến ta sẽ tìm cách đưa về dạng ít biến hơn. Và đối với bài toán này cũng dậy ta cũng sẽ tìm cách đưa bài toán từ ba biến về hai biến hoặc một biến thì càng tốt.

Nhưng trước hết, ta hãy chú ý đến nhận xét sau đây

" Trong ba số $x,y,z$ luôn có hai số cùng dấu. Ta có thể giả sử đó là $x,y.$ "


Bây giờ, quay trở lại bài toán. Biểu thức cần tìm cực trị có ba biến, trong khi đó giả thiết lại cho ta $x+y+z=0.$ Điều này gợi cho ta rút $z=-x-y$ để thay vào $P,$ và được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{|x|+|y|+|x+y| }.\quad (1)$$ [HINT] Có thể nói đây là một bước tiến lớn trong lời giải vì ta đã đưa được bài toán tìm cực trị hàm ba biến về hai biến :D chỉ là rút ra rồi thay vào thôi mà.[/HINT]

Mặt khác, trong $(1)$ nếu ta thay $(x,y)$ bởi $(-x,-y)$ thì bài toán không đổi, nên ta chỉ cần xét trường hợp $x,y$ không âm là được. Khi đó ta được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }. \quad (2)$$
Sử dụng hai đánh giá hiển nhiên $x^2+y^2\le(x+y)^2,$ ta có $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\le \frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Mặt khác theo bát đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì $x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2},$ nên $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\ge \frac{\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\sqrt{\frac{3}{8}}.$$ Vậy ta có kết quả cần tìm. $\Box$

Nhận xét. Thông thường đối với các bài toán bất đẳng thức ba biến, đẳng thức của bài toán thường xảy ra khi $a=k_1b=k_2c.$ Trong bài toán này sau khi đưa $P$ về dạng hai biến như $(2)$ ta có thể nhờ vào dự đoán đảng thức sẽ xảy ra khi $y=kx$ với k là một số thự nào đó. Từ đó gợi cho ta phép đặt $y=kx$ và viết $P$ lại thành $$P=\frac{\sqrt{x^2+k^2x^2+(x+kx)^2}}{2(x+kx) }=\frac{\sqrt{1+k^2+(1+k)^2}}{2(1+k) }.$$ Đây là bài toán một biến có thể giải quyết dễ dàng bằng nhiều cách.

Bằng cách làm tương tự, ta chứng minh được bài toán tổng quát sau đây

Nguồn: onluyentoan.vn


Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh