Cho $x,y>0$,t/m$ x+y=1$
Tìm GTNN của: $P = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy$
----
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.
Tìm GTNN : $P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$
Bắt đầu bởi lovelyboy9xnb, 08-07-2012 - 16:56
#1
Đã gửi 08-07-2012 - 16:56
- donghaidhtt yêu thích
#2
Đã gửi 08-07-2012 - 16:58
Cho minh hỏi tìm cái gì của P mới đượcCho x,y>0,t/m x+y=1
Tim` P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$
Nếu tìm min thì:
$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+4xy\geq 4+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\geq 16-20xy$
Mà $1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq 4xy\Rightarrow -20xy\geq -5$
Vậy P$\geq 11$
Dấu = xảy ra khi x=y=0.5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 08-07-2012 - 17:12
- solitarycloud2612, Mai Duc Khai, donghaidhtt và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 08-07-2012 - 17:06
Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[P = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \frac{5}{{4xy}} + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) \geqslant \frac{2}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)2xy} }} + \frac{5}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2\]
\[ \geqslant \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{5}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2 = 4 + 5 + 2 = 11\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$.
Vậy $\min P = 11 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$
\[P = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \frac{5}{{4xy}} + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right) \geqslant \frac{2}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)2xy} }} + \frac{5}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2\]
\[ \geqslant \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{5}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2 = 4 + 5 + 2 = 11\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$.
Vậy $\min P = 11 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$
- henry0905, solitarycloud2612, Mai Duc Khai và 6 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh