Đến nội dung

Hình ảnh

$$\dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}\ge \dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán
Cho các số dương $x_1, x_2$ và các số thực $y_1, y_2, z_1, z_2$ và $x_1y_1> z_1^2, x_2y_2> z_2^2$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}\ge \dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}$$
Yêu cầu : Không được sử dụng những tài liệu liên quan ! Tự lực là tốt nhất .

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Bài toán
Cho các số dương $x_1, x_2$ và các số thực $y_1, y_2, z_1, z_2$ và $x_1y_1> z_1^2, x_2y_2> z_2^2$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\dfrac{1}{x_2y_2-z_2^2}\ge \dfrac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}$$
Yêu cầu : Không được sử dụng những tài liệu liên quan ! Tự lực là tốt nhất .

Theo Cauchy-Schwarz :
$(z_1+z_2)^{2}= (\sqrt{x_1}.\frac{z_1}{\sqrt{x_1}}+\sqrt{x_2}.\frac{z_2}{\sqrt{x_2}})^2\leq (x_1+x_2)(\frac{z_1^2}{x_1}+\frac{z_2^2}{x_2})$
$\Rightarrow (x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2\geq (x_1+x_2)(y_1-\frac{z_1^2}{x_1}+y_2-\frac{z_2^2}{x_2})$
$\geq 2\sqrt{x_1x_2}.2\sqrt{(y_1-\frac{z_1^2}{x_1})(y_2-\frac{z_2^2}{x_2})}= 4\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}$
Do đó Áp dụng AM-GM :
$VT\geq \frac{2}{\sqrt{(x_1y_1-z_1^2)(x_2y_2-z_2^2)}}\geq \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HAIBARA AI loves ZHAOYUN: 10-07-2012 - 08:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh