Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 11/07 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
Ham vui
Ta có : $\sin \frac{2\pi}{7}=\sin \frac{5\pi}{7} $
Dễ thấy $\frac{\pi}{7},\; \frac{3\pi}{7},\; \frac{5\pi}{7} $ là 3 phần tử của họ nghiệm $7x=(2k+1)\pi \; \;, k \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow 4x=\pi-3x+k2\pi \Rightarrow sin(4x)=\sin(3x) $
$$\Leftrightarrow 4\sin x \cos x (1-2\sin^2 x)=3\sin x-4\sin^3 x $$
Do $\sin \frac{\pi}{7} \;, \sin \frac{3\pi}{7} \;, \sin \frac{5\pi}{7} $ đều dương nên $\frac{\pi}{7},\; \frac{3\pi}{7},\; \frac{5\pi}{7} $
là nghiệm của phương trình
$$4\cos x(1-2\sin^2 x)=3-4\sin^2x$$
$$\Rightarrow 4|\cos x (1-2\sin^2x)| =|3-4\sin^2x |$$
$$\Leftrightarrow 4\sqrt{1-\sin^2x}|1-2\sin^2x|=|3-4\sin^2x | $$
Đặt $t=\sin^2x $ , vậy $\sin^2 \frac{\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{2\pi}{7}=\sin^2 \frac{5\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{3\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình
$$4\sqrt{1-t}|1-2t|=|3-4t| $$
$$\Leftrightarrow 64t^3-112t^2+56t-7=0 \;\; (* )$$
Đây là phương trình bậc 3 do đó có tối đa 3 nghiệm, hơn nữa dễ thấy $\sin^2 \frac{\pi}{7} \neq \sin^2 \frac{2\pi}{7} \neq \sin^2 \frac{3\pi}{7} $ nên $( * )$ có 3 nghiệm chính là $\sin^2 \frac{\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{2\pi}{7}\;, \sin^2 \frac{3\pi}{7} $.
Theo định lý Viète, $$\sin^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}=\frac{7}{4} $$
Đặt $a=\sin \frac{\pi}{7} \; b=\frac{2\pi}{7} \;, c=\frac{3\pi}{7} $ , dễ thấy $a,b,c \in (0;1) $
Theo $C-S$
$$(a^3+b^3+c^3)^2(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{1}{3} (a^3+b^3+c^3)^2(a+b+c)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)^4 $$
Vậy $$a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}} =\sqrt{\frac{343}{192}}>1$$
Từ đây, với mọi $n \in \mathbb{N}^* $ , $a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c} \ge a^3+b^3+c^3>1 $
do đó $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}+a^2*\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c}\right)^n = +\infty $$
Với mọi $n \in \mathbb{Z}_-^* \;, a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c} >a^2+b^2+c^2=\frac{7}{4}>1$ ,
do đó
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{1}{2}+a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c}\right)^n=0$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 10-07-2013 - 22:01
Tính :
$$I=\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
Xét 2 TH:
$TH1:\:\: A=\lim_{n\to +\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]$
Vì $\ln\left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )>\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3} \sin^3\frac{k\pi}{7}\right )>\frac{2}{3}$
$A=\lim_{n\to +\infty} \left [ n\ln\left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]=+\infty \to I=e^A=+\infty$
$TH2:\:\: B=\lim_{n\to -\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]$
Vì $\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )>\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin^2\frac{k\pi}{7} \right )=\ln\frac{9}{4}\to n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )<n\ln\frac{9}{4}$
$\to B=\lim_{n\to -\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]=-\infty$
Ta thấy $0<I=e^B\to 0,\:|n\to -\infty$
$\Rightarrow I=0$
P/sửa: Em làm thử, mong mọi người góp ý để em sửa!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 05-10-2013 - 20:33
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh