Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$\left (\frac{1}{2}+\sum \sin^2 \frac{i\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{i\pi}{7}}\right )^n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 kelieulinh

kelieulinh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Đến từ:chuyên bg

Đã gửi 23-10-2005 - 08:54

Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$

 



#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-07-2013 - 09:14

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 11/07 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 10-07-2013 - 21:10

Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$

 

 

Ham vui :D

 

Ta có : $\sin \frac{2\pi}{7}=\sin \frac{5\pi}{7} $

 

Dễ thấy $\frac{\pi}{7},\; \frac{3\pi}{7},\; \frac{5\pi}{7} $ là 3 phần tử của họ nghiệm $7x=(2k+1)\pi \; \;, k \in \mathbb{Z}$

 

$\Rightarrow 4x=\pi-3x+k2\pi  \Rightarrow sin(4x)=\sin(3x) $

 

$$\Leftrightarrow 4\sin x \cos x (1-2\sin^2 x)=3\sin x-4\sin^3 x $$

 

Do $\sin \frac{\pi}{7} \;, \sin \frac{3\pi}{7} \;, \sin \frac{5\pi}{7} $ đều dương nên $\frac{\pi}{7},\; \frac{3\pi}{7},\; \frac{5\pi}{7} $

là nghiệm của phương trình

 

$$4\cos x(1-2\sin^2 x)=3-4\sin^2x$$

 

$$\Rightarrow 4|\cos x (1-2\sin^2x)| =|3-4\sin^2x |$$

 

$$\Leftrightarrow 4\sqrt{1-\sin^2x}|1-2\sin^2x|=|3-4\sin^2x | $$

 

Đặt $t=\sin^2x $ , vậy $\sin^2 \frac{\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{2\pi}{7}=\sin^2 \frac{5\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{3\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình

 

$$4\sqrt{1-t}|1-2t|=|3-4t| $$

 

$$\Leftrightarrow 64t^3-112t^2+56t-7=0  \;\; (* )$$

 

Đây là phương trình bậc 3 do đó có tối đa 3 nghiệm, hơn nữa dễ thấy $\sin^2 \frac{\pi}{7} \neq \sin^2 \frac{2\pi}{7} \neq \sin^2 \frac{3\pi}{7} $ nên $( * )$ có 3 nghiệm chính là $\sin^2 \frac{\pi}{7} \;, \sin^2 \frac{2\pi}{7}\;, \sin^2 \frac{3\pi}{7} $.

 

Theo định lý Viète, $$\sin^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}=\frac{7}{4} $$

 

Đặt $a=\sin \frac{\pi}{7} \; b=\frac{2\pi}{7} \;, c=\frac{3\pi}{7} $ , dễ thấy $a,b,c \in (0;1) $

 

Theo $C-S$

 

$$(a^3+b^3+c^3)^2(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{1}{3} (a^3+b^3+c^3)^2(a+b+c)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)^4 $$

 

Vậy $$a^3+b^3+c^3 \ge \sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}} =\sqrt{\frac{343}{192}}>1$$

 

Từ đây, với mọi $n \in \mathbb{N}^* $ , $a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c} \ge a^3+b^3+c^3>1 $

 

do đó $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}+a^2*\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c}\right)^n = +\infty $$

 

Với mọi $n \in \mathbb{Z}_-^*  \;, a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c} >a^2+b^2+c^2=\frac{7}{4}>1$ ,

do đó

 

$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{1}{2}+a^2\sqrt[n]{a}+b^2\sqrt[n]{b}+c^2\sqrt[n]{c}\right)^n=0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 10-07-2013 - 22:01

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 05-10-2013 - 20:07

Tính :
$$I=\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$

Xét 2 TH: 

$TH1:\:\: A=\lim_{n\to +\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]$

Vì $\ln\left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )>\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3} \sin^3\frac{k\pi}{7}\right )>\frac{2}{3}$

$A=\lim_{n\to +\infty} \left [ n\ln\left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]=+\infty \to I=e^A=+\infty$

 

$TH2:\:\: B=\lim_{n\to -\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]$

Vì $\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )>\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin^2\frac{k\pi}{7} \right )=\ln\frac{9}{4}\to n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right )<n\ln\frac{9}{4}$

$\to B=\lim_{n\to -\infty} \left [ n\ln \left ( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{3}\sin ^{2+\frac{1}{n}}\frac{k\pi}{7} \right ) \right ]=-\infty$

Ta thấy $0<I=e^B\to 0,\:|n\to -\infty$

$\Rightarrow I=0$

P/sửa: Em làm thử, mong mọi người góp ý để em sửa! ~O)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 05-10-2013 - 20:33

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-10-2013 - 17:05

Chấm điểm:
 

phudinhgioihan: 50 điểm

Mrnhan: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh