Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Định lý đảo của định lý Brocard

Tứ giác nội tiếp hàng điều hòa

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2012 - 16:22

Không biết mọi người có biết và chứng minh cái này chưa:
Cho tứ giác ABCD có đường thẳng AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, AC cắt BD tại I.Giả sử tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác IEF. Chứng minh rằng ABCD nội tiếp đường tròn
  • NLT yêu thích

#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2012 - 17:00

Bài toán trên có thể phát biểu mạnh hơn và như thế thì chẳng thể gọi là định lý đảo của định lý Brocard, chứng minh mới phát hiện ra:
Cho tứ giác ABCD có đường thẳng AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, AC cắt BD tại I, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nếu OE vuông góc với IF thì ABCD nội tiếp đường tròn. Tương tự nếu OI vuông góc với EF.
Chứng minh
Trường hợp OE vuông góc với IF thì dễ hơn
Gọi K là trung điểm của BC, H là giao điểm của IE và OF, L là giao của IE và BC
Ta có H(IFBC)=H(IFAD)-1 và HE vuông góc với HF nên HE là đường phân giác của góc BHC và góc AHD. Tứ giác OKHL nội tiếp nên FO.FH=FL.FK. (BCLF)=-1 nên FL.FK=FB.FC, từ đó ta có tứ giác OHCB nội tiếp. Góc BHC = góc BOC nên góc BHL = góc BAI. Do đó tứ giác BAIH nội tiếp, nên góc HAI =góc IBH . Ta cũng có góc AHC bằng góc BHD nên góc HCI bằng góc HDI tức là tứ giác IHCD nội tiếp. Vậy E nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIHB và DIHC, ta có được đpcm

Trường hợp OI vuông góc với EF thì lại không tương tự như trên
Ta bỏ qua trường hợp AC song song với EF. Gọi M là giao của AC và EF, N là giao của OI và EF.
Tương tự ta chứng minh được ANOC nội tiếp, ND là phân giác góc ANC từ đó có góc ANE bằng góc ABC nên ANFB nội tiếp, tương tự BCNE nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và ABF vì thế cắt nhau tại N, do đó NDAE nội tiếp (tứ giác toàn phần). Góc ENA bằng góc EDA và do đó góc EDA bằng góc ABC, ta có đpcm

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 21-07-2012 - 16:36


#3 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 17:06

Bài toán trên có thể phát biểu mạnh hơn và như thế thì chẳng thể gọi là định lý đảo của định lý Brocard, chứng minh mới phát hiện ra:
Cho tứ giác ABCD có đường thẳng AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, AC cắt BD tại I, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Nếu OE vuông góc với IF thì ABCD nội tiếp đường tròn. Tương tự nếu OI vuông góc với EF.
Chứng minh
Trường hợp OE vuông góc với IF thì dễ hơn


Nếu chưa ai phát biểu bạn cứ mạnh dạn đề xuất. Chúc bạn thành công





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh