Chủ đề này có 1 trả lời

[thien than cua gio]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
\left ( 1+x^{2}+x^{2}y+y \right )^{2}= 8 \left ( x^{2}+x^{2}y^{2} \right ) \\ \left ( 1+y^{2} +y^{2}z+y\right )^{2}=8\left ( y^{2}+y^{2}z^{2} \right )
\\ \left ( 1+z^{2}+z^{2}x+x \right )^{2}=8\left ( z^{2}+z^{2}x \right )

\end{matrix}\right.$

[kainguyen]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
\left ( 1+x^{2}+x^{2}y+y \right )^{2}= 8 \left ( x^{2}+x^{2}y^{2} \right ) \\ \left ( 1+y^{2} +y^{2}z+y\right )^{2}=8\left ( y^{2}+y^{2}z^{2} \right )
\\ \left ( 1+z^{2}+z^{2}x+x \right )^{2}=8\left ( z^{2}+z^{2}x \right )
\end{matrix}\right.$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}
\left ( 1+x^{2}+x^{2}y+y \right )^{2}= 8 \left ( x^{2}+x^{2}y^{2} \right ) \\ \left ( 1+y^{2} +y^{2}z+y\right )^{2}=8\left ( y^{2}+y^{2}z^{2} \right )
\\ \left ( 1+z^{2}+z^{2}x+x \right )^{2}=8\left ( z^{2}+z^{2}x \right )
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x^2+1)^2(y+1)^2=8x^2(y^2+1)\\
(y^2+1)^2(z+1)^2=8y^2(z^2+1)\\
(z^2+1)^2(x+1)^2=8z^2(x^2+1)
\end{matrix}\right.$

Nhân theo từng vế và rút gọn, ta được:

$(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=8^3x^2y^2z^2$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}
(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\geq 8xyz\\
(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2\geq 4x.4y.4z=8^2xyz
\end{matrix}\right.$

Từ đây, suy ra: $(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\geq 8^3x^2y^2z^2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bđt trên xảy ra dấu bằng.

Tức là hệ đã cho có nghiệm duy nhất: $x=y=z=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 12-07-2012 - 21:51