Chủ đề này có 1 trả lời

[thien than cua gio]

Cho phương trình :$ax^{3}+bx^{2}+cx+a=0$. Chứng minh rằng nếu phương trình đã cho có $3$ nghiệm m,n,p thì:
$\frac{\sqrt{2}}{m}+\frac{\sqrt{3}}{n}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{p}\leq m^{2}+n^{2}+p^{2}$

[Crystal]

Theo định lý Viète ta có $mnp=-1$

Gọi $\alpha = {-45^0};\beta = - {60^0};\gamma = {285^0}$. Khi đó $\alpha + \beta + \gamma = {180^0}$
\[ \Rightarrow \sin \alpha = -\frac{{\sqrt 2 }}{2};\sin \beta =- \frac{{\sqrt 3 }}{2};\sin \gamma = - \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}\]
Ta có:\[{\left( {p - m\sin \beta - n\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {m\cos \beta - n\cos \alpha } \right)^2} \ge 0\]
\[{p^2} + {m^2}\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right) + {n^2}\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) \ge 2mp\sin \beta + 2np\sin \alpha + 2mn\cos (\alpha + \beta )\]
(Vì $\alpha + \beta + \gamma = {180^0}$)
\[ \Leftrightarrow {p^2} + {m^2} + {n^2} \ge 2mp\sin \beta + 2np\sin \alpha + 2mn\sin \gamma \]
\[ \Leftrightarrow - \sqrt 2 np - \sqrt 3 pm - \sqrt {2 + \sqrt 3 } mn \le {m^2} + {n^2} + {p^2}\]
Chia vế trái cho $mnp=-1$, ta được:
$$ \frac{{\sqrt 2 }}{m} + \frac{{\sqrt 3 }}{n} + \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{p} \le {m^2} + {n^2} + {p^2}$$
Từ đó ta có đpcm.