Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}
\end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2} \\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2} \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi thien than cua gio, 12-07-2012 - 21:33
#1
Đã gửi 12-07-2012 - 21:33
#2
Đã gửi 12-07-2012 - 22:05
Biến đổi thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}} = y \\
\frac{{3y - {y^3}}}{{1 - 3{y^2}}} = z \\
\frac{{3z - {z^3}}}{{1 - 3{z^2}}} = x \\
\end{array} \right.\]
Đặt: $x = \tan a,y = \tan b,z = \tan c(a,b,c \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right))$
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tan 3a = \tan b \\
\tan 3b = \tan c \\
\tan 3c = \tan a \\
\end{array} \right.\]
Hệ này là hệ hoán vị đơn giản!
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}} = y \\
\frac{{3y - {y^3}}}{{1 - 3{y^2}}} = z \\
\frac{{3z - {z^3}}}{{1 - 3{z^2}}} = x \\
\end{array} \right.\]
Đặt: $x = \tan a,y = \tan b,z = \tan c(a,b,c \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right))$
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tan 3a = \tan b \\
\tan 3b = \tan c \\
\tan 3c = \tan a \\
\end{array} \right.\]
Hệ này là hệ hoán vị đơn giản!
- donghaidhtt yêu thích
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#3
Đã gửi 12-07-2012 - 22:05
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}
\end{matrix}\right.$
Điều kiện: $x;y;z \ne 0$
Ta có:
$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x-y}{x-3y}=x^{2}\\ \frac{3y-z}{y-3z}=y^{2}
\\\frac{3z-x}{z-3x} =z^{2}
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{z^3-3z}{3z^2-1}\\
y=\frac{x^3-3x}{3x^2-1}\\
z=\frac{y^3-3y}{3y^2-1}
\end{matrix}\right.$
Đặt $z=tana$ với $a \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\setminus \left \{ 0 \right \}$
Từ trên suy ra: $\left\{\begin{matrix}
x=tan3a\\
y=tan9a\\
z=tan27a
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow tana=tan27a$
$\Leftrightarrow 27a=a+k\pi $
$\Leftrightarrow a=k\frac{\pi}{26}$ với $k$ nguyên.
Đối chiếu với điều kiện: $a \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\setminus \left \{ 0 \right \}$ suy ra $k \in \left \{\mathbb{Z}|-13<k<13;k \ne 0\right \}$
Từ đây suy ra phương trình có nghiệm:
$(x;y;z)=(k\frac{\pi}{26};k\frac{3\pi}{26};k\frac{9\pi}{26})$ và các hoán vị với $k \in \left \{\mathbb{Z}|-13<k<13;k \ne 0\right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 12-07-2012 - 22:14
- donghaidhtt và no matter what thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh