Chủ đề này có 7 trả lời

[pnt]

Chứng minh rằng tồn tại vố số $n$ nguyên dương sao cho $n^2+n+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.

[SuperReshiram]

Mình giải thế này ko biết có đúng không, nếu sai mong các bác thông cảm! (hơi điên)

Giả sử có hữu hạn số n nguyên dương sao cho $n^{2}+n+1=k^{3}$ là $n_{1},n_{2},...,n_{p}$. Xét tích

$S=(n_{1}^{2}+n_{1}+1)(n_{2}^{2}+n_{2}+1)...(n_{p}^{2}+n_{p}+1)$

  $=k_{1}^{3}k_{2}^{3}...k_{p}^{3}$

  $=(k_{1}k_{2}...k_{p})^{3}$

là lập phương của một số tự nhiên và không thuộc dãy trên

...............

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuperReshiram: 05-05-2014 - 17:39

[PolarBear154]

Mình giải thế này ko biết có đúng không, nếu sai mong các bác thông cảm! (hơi điên)

Giả sử có hữu hạn số n nguyên dương sao cho $n^{2}+n+1=k^{3}$ là $n_{1},n_{2},...,n_{p}$. Xét tích

$S=(n_{1}^{2}+n_{1}+1)(n_{2}^{2}+n_{2}+1)...(n_{p}^{2}+n_{p}+1)$

  $=k_{1}^{3}k_{2}^{3}...k_{p}^{3}$

  $=(k_{1}k_{2}...k_{p})^{3}$

là lập phương của một số tự nhiên và không thuộc dãy trên

...............

Không phải hơi điên mà là rất điên ạ, hì hì. Em cần xác định rõ đề yêu cầu cái gì đã, ở đây cần chứng minh là tồn tại số n để cái đó là lập phương của số tự nhiên đã, sau đó cần cm có vô số số như vậy. Làm như em chưa giải quyết đc vấn đề nào cả, đúng không?

[nk0kckungtjnh]

Chứng minh rằng tồn tại vố số $n$ nguyên dương sao cho $n^2+n+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.

Lời giải: 

Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$

 

Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:

 

$\boxed{\text{ TH1:}}$ $n=k-1$ và $n+1=k^{2}+k+1$ 

 

$\Rightarrow k^{2}+1=0$ ( loại)

 

$\boxed{\text{ TH2:}}$ $n=1$ và $n+1=(k-1)(k^{2}+k+1)$ 

 

$\Rightarrow k^{3}=3$ ( loại)

[buiminhhieu]

Lời giải: 

Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$

 

Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:

 

$\boxed{\text{ TH1:}}$ $n=k-1$ và $n+1=k^{2}+k+1$ 

 

$\Rightarrow k^{2}+1=0$ ( loại)

 

$\boxed{\text{ TH2:}}$ $n=1$ và $n+1=(k-1)(k^{2}+k+1)$ 

 

$\Rightarrow k^{3}=3$ ( loại)

Sai chỗ này 

[ilovelife]

$a  b = c  d,\ gcd(a, b)=1 \implies \ gcd(c, d) = 1\ $ ? (thử với a = 3, b = 4, c = 2, d = 6)

Lời giải: 

Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$

 

Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:

 

[...]

 

Bài này đầu bài sai nên em sẽ không có ý định nghĩ, mà tại sao nó sai thì em không (chưa) chứng minh bằng tay được.
Em có sử dụng sage (những dòng em tô tím là output)

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,0,-1]); E

Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - 1 over Rational Field
sage: E.integral_points(both_signs=True)
[(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]

Rõ ràng chỉ có hữu tỉ nghiệm thoả mãn.

Đầu bài đúng phải là:
 

> Chứng minh tồn tại vô số số hữu tỉ $n$ để $n^2 + n + 1$ là lập phương một số hữu tỉ

Chứng minh: Ta dễ thấy là rank của Elliptic Curve (E) là 1 (ở dòng [(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]), hoặc:
sage: E.analytic_rank()
1

 

Nên tồn tại vô số nghiệm hữu tỉ thoả mãn.

[buiminhhieu]

$a  b = c  d,\ gcd(a, b)=1 \implies \ gcd(c, d) = 1\ $ ? (thử với a = 3, b = 4, c = 2, d = 6)

 

Lời giải: 

Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$

 

Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:

 

[...]

 

Bài này đầu bài sai nên em sẽ không có ý định nghĩ, mà tại sao nó sai thì em không (chưa) chứng minh bằng tay được.
Em có sử dụng sage (những dòng em tô tím là output)

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,0,-1]); E

Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - 1 over Rational Field
sage: E.integral_points(both_signs=True)
[(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]

Rõ ràng chỉ có hữu tỉ nghiệm thoả mãn.

Đầu bài đúng phải là:
 

> Chứng minh tồn tại vô số số hữu tỉ $n$ để $n^2 + n + 1$ là lập phương một số hữu tỉ

Chứng minh: Ta dễ thấy là rank của Elliptic Curve (E) là 1 (ở dòng [(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]), hoặc:
sage: E.analytic_rank()
1

 

Nên tồn tại vô số nghiệm hữu tỉ thoả mãn.

Chỗ này sai cho $k=4$ thì UCLN bằng 3 đó

[ilovelife]

Chỗ này sai cho $k=4$ thì UCLN bằng 3 đó

Anh biết rồi buiminhhieu, ý anh là nk0kckungtjnh làm sai cái đoạn mà em đã chỉ ra mà;

Và cả đầu bài cũng không đúng nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-05-2014 - 20:40