Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\exists$ số chính phương có $2n+1$ chữ số

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
pnt

pnt

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 16-10-2013 - 12:00
Đã sửa!

độc lập ,tự do muôn năm!!!!!!!!!!!!!

#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.

Các số chính phương với $n=1$ là $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961,1024$ , rõ ràng với $n=1$ không có số thỏa mãn nên đề bài sai


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Đề bài đã được chỉnh sửa lại!



#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Xét số $a_{1}a_{2}....a_{n}1000.....000=A$ có đúng $n$ chữ số $0$ đằng sau

Xét $n$ chẵn , ta tìm các chữ số khác $1$ sao cho $a_{1}........a_{n}1$  là số chính phương

Đặt $10a_{1}a_{2}.........a_{n}=(m-1)(m+1)$

Ta lại có phân tích sau $a_{1}......a_{n}=10^{n}.a_{1}+10^{n-1}.a_{2}+..............+10a_{n-1}+a_{n}$

Dễ thấy $m$ là số lẻ , mà đề bài chỉ yêu cầu chứng minh tồn tại vô số  nên chọn $m=10k+1$

Ta có phương trình $10^{n}.a_{1}+..............+10a_{n-1}+a_{n}=k(10k+2)$

Chỉ cần chứng minh tồn tại vô số các $k(10k+2)$ sao cho nó không chứa chữ số $1$ trong phân tích chuẩn

Hay $2k(5k+1)=10^{s}.a$ trong đó $a$ không chứa số $1$ ở biểu diễn thập phân

Chọn $2k=10^{s}.v$ ta có $v(5k+1)=a$

Ta chọn $s$ tùy ý sao cho $a$ không có $1$ trong biểu diễn thập phân

Ta nhận thấy $k=5.10^{s-1}.v$ nên  ta có $v^{2}.5.10^{s-1}+v=a$

Chọn $v=2$ ta thấy $a$ không chứa số $1$ trong biểu diễn thập phân.

Ai làm giúp em cái TH $n$ lẻ đi   :(

Mà hình như bài toán không đúng với trường hợp $n$ lẻ , $n=1$ là ví dụ điển hình 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-10-2013 - 19:11

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số $(n>1)$, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số đứng thứ $n+1$ là $1$.

" Chứng minh rằng tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... "

Suy nghĩ kỹ thì thấy đề này không ổn !

Nếu hiểu rằng " Cm rằng $\forall n> 1$, tồn tại vô số số chính phương gồm $2n+1$ chữ số ... " thì rất vô lý vì $\forall n$, số số chính phương có $2n+1$ chữ số dù có nhiều đến đâu cũng là số hữu hạn, không thể là VÔ SỐ được

Vậy cần hiểu đề như sau :

" Chứng minh rằng có vô số số chính phương có đúng một số lẻ chữ số, trong đó có đúng $1$ chữ số $1$ và chữ số $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa "

Đây mới đúng là cách hiểu chính xác !

Chứng minh :

Xét các số $A_{k}$ có dạng :

$A_{k}=\overline{4000...004000...001000...00}$ (giữa 2 cs 4 có $k$ cs 0, giữa cs 4 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

---> $A_{k}=4.10^{4k+4}+4.10^{3k+3}+10^{2k+2}=(2.10^{2k+2}+10^{k+1})^2$

Rõ ràng $A_{k}$ là số chính phương có đúng $4k+5$ chữ số, trong đó chỉ có đúng $1$ cs $1$ và cs $1$ đó nằm ở vị trí chính giữa.

Vì $k$ có thể lấy bất cứ giá trị nào thuộc $N$ nên có VÔ SỐ số chính phương $A_{k}$ thỏa mãn ĐK đề bài (đpcm)

Ví dụ : $A_{0}=44100;A_{1}=404010000;A_{2}=4004001000000;...$

----------------------------------------------------

Thay vì các số $A_{k}$, ta cũng có thể xét các số $B_{k}$ có dạng :

$B_{k}=\overline{9000...006000...001000...00}$ (giữa cs 9 và cs 6 có $k$ cs 0, giữa cs 6 và cs 1 có $k$ cs 0, sau cs 1 có $2k+2$ cs 0, $k\in N$)

(Cách làm hoàn toàn tương tự)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh