Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm O của tam giác $ABC$. Một mặt phẳng $(P)$ chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ $ABCA'B'C'$ theo một thiết diện có diện tích bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

[be_optimistic]

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm O của tam giác $ABC$. Một mặt phẳng $(P)$ chứa BC và vuông góc với AA', cắt hình lăng trụ $ABCA'B'C'$ theo một thiết diện có diện tích bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Gọi H là trung điểm BC

Vẽ $HK\perp AA' (K\in AA')$ (1)

~> $BC\perp AH$
...$BC\perp {A}'O$

~> $BC\perp ({A}'AH)$ ~> $BC\perp AA'$ (2)

Từ (1)(2) => $AA'\perp (KBC)$

~> (KBC) là (P) và đồng thời là thiết diện

~> $S_{KBC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$

~> $HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Xét trong $\Delta AKH$ (vuông ở K) có $sin KAH=\frac{HK}{AH}=\frac{1}{2}$ ~> $\hat{KAH}=30^{\circ}$

Xét trong $\Delta AA'O$ (vuông ở O) có $OA'= tan KAH.OA=\frac{a}{3}$

~> $V= OA'.S_{ABC}=\frac{a}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}}{4\sqrt{3}}$