Chủ đề bị khóa
$\mathbf{\boxed{1}}$ Cho phương trình: $x^{2}+p|x|-qx+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có bốn nghiệm khi và chỉ khi: $p+|q|+2<0$.
$\mathbf{\boxed{2}}$ Cho 2005 số dương $x_1,...,x_{2005}$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} x_1^2+x_2^2\le x_2-x_1 & \\ x_2^2+x_3^2\le x_3-x_2 & \\ .......................... & \\ x_{2003}^2+x_{2004}^2\le x_{2004}-x_{2003} & \\ x_{2004}^2+x_{2005}^2\le x_{2005}-x_{2004} & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng trong 2005 số đó có hai số $x$, $y$ sao cho $|x-y|\le \frac{1}{2.10^3}$.
$\mathbf{\boxed{3}}$ Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên sao cho hai phương trình $P(x)=1$ và $P(x)=3$ đều có nghiệm nguyên. Hỏi phương trình $P(x)=2$ có thể có hai nghiệm nguyên phân biệt hay không?
$\mathbf{\boxed{4}}$ Cho $(x-\sqrt{4-x^{2}})(y-\sqrt{4-y^{2}})=4$. Tính $xy$?
$\mathbf{\boxed{5}}$ Cho phương trình $x^2-5x-4m=0$. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$. Chứng minh rằng: $x_{1}^2+5mx_{2}-4m>0$.
$\mathbf{\boxed{6}}$ Tìm $m$ để phương trình $\left | x-1 \right |+\left | 2x+1 \right |=\frac{1}{m}$ có nghiệm duy nhất?
$\mathbf{\boxed{7}}$ Phân tích đa thức $A$ thành nhân tử biết: $A=4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^2y^2$.
$\mathbf{\boxed{8}}$ Cho hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}-x_{2}x_{3}...x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}x_{2}-x_{3}x_{4}...x_{1992}=1 & & & & & \\ ............................ & & & & & \\ x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1990}-x_{1991}x_{1992}=1 & & & & & \\ x_{1}x_{2}x_{3}...x_{1991}-x_{1992}=1 & & & & & \end{matrix}\right.$
Hỏi $x_{1990}$ có thể nhận những giá trị nào?
$\mathbf{\boxed{9}}$ Giải phương trình $20(\frac{x+3}{x-2})^2-5(\frac{x+2}{x-1})^2+48(\frac{x^2-4}{x^2-1})=0$.
$\mathbf{\boxed{10}}$ Tìm các số tự nhiên $a$ và $b$ sao cho: $(2012.a+3b+1).(2012^a+2012a+b)=225$?
$\mathbf{\boxed{11}}$ Cho phương trình: ${x^2} + \left( {{m^2} + 8n} \right)\left| x \right| + {n^2} - 4 = 0$. Tìm $m$, $n$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
$\mathbf{\boxed{12}}$ Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^{2011}} + x{y^{2011}} = {y^{4022}} + {y^{2012}}\\
\sqrt {2x + 3} + \sqrt {{y^2} + 1} = 4
\end{array} \right.\]
$\mathbf{\boxed{13}}$ Chứng minh rằng: $12< \frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{100}{99}<13$.
$\mathbf{\boxed{14}}$ Cho phương trình $(x+1)^4 -(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0$
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt;
b) Gọi $x_{1}$, $x_{2}$ là nghiệm của phương trình. Định $m$ để $\left |x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |=2$.
$\mathbf{\boxed{15}}$ Cho phương trình $x^{3} - (4a + 3)x^{2} + 4a(a + 2)x- 4(a^{2}-1) = 0$
trong đó $a$ là tham số.
a) Giải phương trình với $a=-\frac{1}{2}$;
b) Giải phương trình theo $a$.
$\mathbf{\boxed{16}}$ Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $(P):y=x^2$ và $(d): y=(m+1)x+1$. Với mọi $m$, $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ và $\left | x_{A}-x_{B} \right |\geq 2$. Tìm $m$ để diện tích tam giác $AOB=3$.
$\mathbf{\boxed{17}}$ Tính giá trị của $P=\frac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}}+\frac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}$ với $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\mathbf{\boxed{18}}$ Cho $a^2 + b^2 - ab = c^2$ chứng minh phương trình: $x^2 - 2x + (a - c)(b - c) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\mathbf{\boxed{19}}$ Chứng minh rằng với điều kiện $c>0$ và $(a+c)^2<ab+bc-2ca$ thì phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.
$\mathbf{\boxed{20}}$ Cho Parabol $(P):y=-\frac{x}{4}$ và điểm $M(1;-2)$. Đường thẳng $(d)$ có hệ số góc $m$ và đi qua điểm $M$, $(d)$ cắt $(P)$ tại $A$ và $B$. Gọi $A'$, $B'$ là hình chiếu của $A$, $B$ trên $Ox$ và $S$ là diện tích tứ giác $AA'B'B$. Tìm $m$ để $S=4(8+m^{2}\sqrt{m^{2}+m+2})$.
$\mathbf{\boxed{21}}$ Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1\\ \sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1\\ \sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1 \end{matrix}\right.$.
$\mathbf{\boxed{22}}$ Xác định tam thức bậc 2 biết $f(x)= x^2 +ax+b$ biết $|f(x)|\leq \frac{1}{2}$ khi $|x|\leq 1$.
$\mathbf{\boxed{23}}$ Cho ba số thực phân biệt $a$, $b$, $c$ ($c\neq 0$). Chứng minh rằng nếu các phương trình $x^2+ax+bc=0$, $x^2+bx+ac=0$ có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại thỏa mãn phương trình $x^2+cx+ab$.
$\mathbf{\boxed{24}}$ Một thành phố năm 2007 có số dân là 330000 người.
a) Hỏi năm học 2007-2008 dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong 10 năm trở lạo đây tỉ lệ gia tăng dân số mỗi năm của thành phố là 1,5% và thành phố thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều đến lớp 1 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
b) Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ gia tăng dân số mỗi năm là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007 (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
$\mathbf{\boxed{25}}$ Trong mặt phẳng tọa độ, ta nói một tam giác là tam giác nguyên nếu ba đỉnh của nó có tọa độ nguyên và độ dài ba cạnh của nó cũng nguyên. Hỏi:
a) Tìm tam giác nguyên có chu vi bằng 42.
b) Liệu có tam giác nguyên mà chu vi bằng 43 không?
$\mathbf{\boxed{26}}$ Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$, $a^3+b^3=c^3+d^3$ Chứng minh $ab=cd$; $a^5+b^5=c^5+d^5$; $a^{2011}+b^{2011}=c^{2011}+d^{2011}$.
$\mathbf{\boxed{27}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ và $b$ sao cho các nghiệm của phương trình: $x^{2}-a(b+1)x +a+b+1=0$ cũng là các số tự nhiên.
$\mathbf{\boxed{28}}$ Tìm các chữ số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn: $\sqrt{\overline{abc}} = (a+b)\sqrt{c}$.
$\mathbf{\boxed{29}}$ Chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ là các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng: $\dfrac{a}{b}$ =1+ $\dfrac{1}{2}$ + $\dfrac{1}{3}$ +......+ $\dfrac{1}{p-1}$ thì $a\vdots p$ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ.
$\mathbf{\boxed{30}}$ Cho 20 số tự nhiên khác nhau $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ ,........, $a_{20}$ không vượt quá 70. Chứng minh rằng giữa các hiệu $a_{i}$ - $a_{k}$ ( $a_{i}$ > $a_{k}$ ) luôn tìm đươc ít nhất 4 hiệu bằng nhau.
$\mathbf{\boxed{31}}$ Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}+5x+2}-\sqrt{x^{2}+5x-6}=1$.
$\mathbf{\boxed{32}}$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}x + y - z = 7\\{x^2} + {y^2} - {z^2} = 37\\{x^3} + {y^3} - {z^3} = 1\end{array} \right.$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 24-07-2012 - 11:04
